線形代数 複素数の行列

質問

ωをω^n ＝1，ω^m≠1 (m＝1,2,…,n-1)であるような複素数とする。
(ただしnは2以上の整数とする)

・x＝ω^±m(m＝1,2,…n-1)は1＋x＋x^2＋…＋x^n-1＝０を満たすことを証明せよ。
・n次正方行列 X＝[ω^(i-1)(j-1)],Y＝[ω^－(i-1)(j-1)]に対してXY,YXを求めよ。
・X^-1を求めよ

文字が絡んでくると途端に混乱してしまいます…。
お手数ですがなるべく分かりやすい解答解説をお願いいたします。

回答No.4

Tacosan

一般の n に対しても, 対角線以外では「じ～っと目を凝らして見る」とやはりすべて相殺されることが分かります.
この辺は「離散フーリエ変換」の基礎ですね.

回答No.3

Tacosan

ω^3 = 1 なら ω^4 = ω.

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、
それでXY＝YXが単位行列のn倍になりますね！

回答No.2

Tacosan

多分「+ でも - でもいい」って意味だろう.
「どういう風に表すのですか？」というのは「何を」表す方法について聞いているのですか?

お礼

遅くなりました。
n=3のときについてです。

ω^3＝1

・1＋ω＋ω^2＝0を証明

ω^3＝1より
ω^3－1＝0
(ω－1)(ω^2＋ω＋1)＝0
ω^m≠1よりω－1≠0
よってω^2＋ω＋1＝0

・XY,YXを計算
X＝
(1　1　　1
1　ω 　ω^2
1　ω^2 ω^4)
Y＝
(1　1 　　1
1　ω^-1 ω^-2
1　ω^-2 ω^-4)

XY＝
(3　 0　☆
0　 3　0
★　0　3)
YX＝
(3　 0　★
0　 3　0
☆　0　3)

☆＝1＋ω^-2＋ω^-4
★＝1＋ω^2＋ω^4

星マークの式の処理の仕方が分かりません。
多分どちらも0になって、X^-1＝Yになると思うのですが…。

補足

なるほど

＞「どういう風に表すのですか？」というのは「何を」表す方法について聞いているのですか?
xとXが頭の中でごっちゃになってしまい、xも行列だと勘違いしてしまいました；
(±m乗がよく分からないからx(行列と勘違い)のあらわし方もよく分からない…みたいな感じに。)

回答No.1

koko_u_u

n = 3 の場合の証明、ならびに計算結果を補足にどうぞ。

お礼

No.2のお礼に載せた解答で、
＞X^-1＝Yになると思うのですが…。
の部分、違いますね；
そこの部分は忘れてください；；

補足

計算の前にまた質問なんですけど、
x＝ω^±mの
±m乗っていうのはどういうことですか？
というかどういう風に表すのですか？
初歩的な質問で申し訳ないです。