分数の方程式の解法について

質問

y=(x^2+6x+21)/(x+3)

(x >-3)の時、上記方程式の最小値と、xとyが共に整数となる個数を教えてください。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

y={(x+3)^2+12}/(x+3)
y=x+3+12/(x+3)
y=√12{(x+3)/√12+√12/(x+3)}>=4√3 (x=2√3-3>-3)

x,yが整数なら12/(x+3)がxが整数の条件で整数
x=(-15,-9,-7,-6,-5,-4,)-2,-1,0,1,3,9
それぞれ
y=( -1,-2,-3,-4,-6,-12,)12,6,4,3,2,1
()内はx<=-3なので外す

お礼

丁寧な説明どうもありがとうございました。
何とか私でも理解することができました；；

回答No.3

springside

No.2の者です。

最小値を与えるxは、2√3ではなく、2√3-3でした。

お礼

分かりやすい説明どうもありがとうございました。
相加相乗平均しっかり勉強します。

回答No.2

springside

y=(x^2+6x+21)/(x+3)
=x+3+12/(x+3)
であり、x+3>0なので、相加平均・相乗平均の関係より、
y≧2√{(x+3)・12/(x+3)}
=4√3
等号は、x+3=12/(x+3)のときに成立し、x>-3とから、x=2√3
よって、最小値は4√3(x=2√3のとき）

yが整数になるのは、xが整数なので、x+3(>0)が12の約数になるとき。
つまり、x=-2,-1,0,1,3,9のときで、６通り。