数学Ａ「集合と要素の個数」の問題が解りません…。

質問

I．50から100までの自然のうち，次のような個数を求めよ。
(1)3または4で割りきれる数[答：26個]
(2)3でも4でも割りきれない数[答：25個]
(3)3で割り切れるが，4で割りきれない数[答：13個]

II．40人のクラスで，問1と問2からなる試験を行った。正解者はそれぞれ32人，21人で，いずれも不正解だった人は5人であった。このとき，次の問に答えよ。
(1)問1と問2の両方とも正解であったのは何人か。[答：18人]
(2)問1か問2のいずれか1問のみ正解であったのは何人か。[答：17人]

どういう風に考えて、
[答]を出していけばいいのか、
５題もありますが、
教えて下さい。

よろしくお願いします。
m(_ _)m

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

I
与えられた範囲で
３の倍数：５１から９９までの１７個
４の倍数：５２から１００までの１３個
１２の倍数：６０から９６の４個
なので
（１）３の倍数の個数と４の倍数の個数を足して、ダブりの部分（１２の倍数）を引けばいいので
　　　１７＋１３－４＝２６
（２）上記で求めた２６個以外が求める数なので
　　　５１－２６＝２５
（３）３の倍数の個数から３と４の公倍数の数を引けばいいので
　　　１７－４＝１３

II
（１）全員の人数から全問不正解の人数を引くと、少なくとも一問正解した人数になります。３５人です。これは
問１の正解者＋問２の正解者－２問正解者
に等しいので
３２＋２１－２問正解者＝３５
よって２問正解者は
５３－３５＝１８
（２）
問１のみの正解者は３２－１８＝１４
問２のみの正解者は２１－１８＝３
これらの合計が求める人数です。

お礼

詳しく書いてくださり、ありがとうございます！

とてもわかりやすいです！

回答No.2

nattocurry

50から100までのすべての数字は、

(A) 3で割り切れる＆4で割り切れる
(B) 3で割り切れる＆4で割り切れない
(C) 3で割り切れない＆4で割り切れる
(D) 3で割り切れない＆4で割り切れない

のうちのどれかです。

これは解りますか？

50から100までは51個なので、A＋B＋C＋D＝51個

3で割り切れるのは、A＋Bです。
1から100までで、3で割り切れるのは、100÷3＝33・・・あまり1、なので、33個です。
1から49までで、3で割り切れるのは、49÷3＝16・・・あまり1、なので、16個です。
50から100までで、3で割り切れるのは、33－16＝17個です。

4で割り切れるのは、A＋Cです。
1から100までで、4で割り切れるのは、100÷4＝25、なので、25個です。
1から49までで、4で割り切れるのは、49÷4＝12・・・あまり1、なので、12個です。
50から100までで、4で割り切れるのは、25－12＝13個です。

3または4で割り切れるのは、A＋B＋Cです。

3で割り切れるのと4で割り切れるのを足すと、17個＋13個＝30個ですが、(A＋B)＋(A＋C)＝2A＋B＋C　なので、Aが1つ多いです。だから、Aを引く必要があります。

3でも4でも割り切れるのは、Aです。
3でも4でも割り切れるということは、12で割り切れるということです。
1から100までで、12で割り切れるのは、100÷12＝8・・・あまり4、なので、8個です。
1から49までで、12で割り切れるのは、49÷12＝4・・・あまり1、なので、4個です。
50から100までで、12で割り切れるのは、8－4＝4個です。

A＋B＋C＝(A＋B)＋(A＋C)－A＝17個＋13個－4個＝26個

3でも4でも割り切れないのは、Dです。

D＝(A＋B＋C＋D)－(A＋B＋C)＝51個－26個＝25個

3で割り切れて4で割り切れないのは、Bです。

B＝(A＋B＋C)－(A＋C)＝26個－13個＝13個

(A) 問1が正解＆問2が正解
(B) 問1が正解＆問2が不正解
(C) 問1が不正解＆問2が正解
(D) 問1が不正解＆問2が不正解

クラスは40人なので、A＋B＋C＋D＝40人

問1が正解なのは32人なので、A＋B＝32人

問2が正解なのは21人なので、A＋C＝21人

問1も問2も不正解なのは5人なので、D＝5人

問1も問2も正解なのは、Aです。

A＝(A＋B)＋(A＋C)＋D－(A＋B＋C＋D)＝32人＋21人＋5人－40人＝18人

問1か問2のいずれか1問のみ正解なのは、B＋Cです。

B＋C＝(A＋B＋C＋D)－A－D＝40人－18人－5人＝17人

お礼

詳細に書いてくださり、
ありがとうございます！

数学って、難しい(^_^;)