双曲線の問題

質問

原点から、双曲線x^2+8xy+7y^2=225への最短距離を求めよ。
という、問題です。
小テストで出題されたのですが、解法の出だしすら分からず、終わってしまいました。
解説もなく、どのように解いたらよいのか理解できていません。

解答を与えてくださると助かります。
また、この問題を解くためのヒントでも構いません。
宜しくお願いいたします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞もう少し、ヒント頂けると助かります。

私の計算ミスのようだ。正しいものを書いとく。

ＯＰ＾2＝x＾2＋y＾2＝225(1+m＾2)/(7m＾2＋8m＋1)
(1+m＾2)/(7m＾2＋8m＋1)＝k　として分母を払い、判別式≧0　から求める。
k≧0は明らかだから(距離だから)判別式は因数分解できて、k≧1/9　以下省略。

それと、極座標がわかったなら必要ないと思うが、解法の1は微分しないでも求まるが、それにしても途中の計算が面倒のようだ。
この方法もいい方法なんだが、この問題にはむいてないようだ。
1つの問題に解法は1つではない事が多いから、引き出しを多く持つ事(視野を広げる事)は絶対に必要な事だ。
普段から、そのように意識して勉強したら良いだろう。

お礼

ご解答ありがとうございます。
いろんな解法を知っておくことで、問題に対していろいろなアプローチができるので、問題を解ける可能性も広がりますね。
解法や知識の引き出しを多く持って、普段から使えるように、しっかりと復習等やりたいと思います。
どうも、お世話になりました。

回答No.2

mister_moonlight

まだあるな。極座標が使える。

x＝r*cosθ、y＝r*sinθ　から条件式に代入すると、r＾2＝225/(4sin2θ-3cos2θ+4)
ＯＰ＾2＝x＾2＋y＾2＝r＾2＝225/(4sin2θ-3cos2θ+4)　だから、分母が最大なら　最小になる。
従って、分母を合成して最大値を求めると良い。もちろん、0≦θ＜2πの範囲で。

以下、自分でやって。

お礼

ご指導ありがとうございました。
自分的にはこの解法が一番しっくりきました。
おかげさまで、解くことができました。
本当にありがとうございました！

回答No.1

mister_moonlight

問題を見て、ぱっと思いつくのは次の2つの解法。

(解法-1)
双曲線のparameter表示を考える。

条件式は　(x+4y)＾2-9y＾2＝225　だから、1＋tan＾2θ＝1/cos＾2θを思い出すと(x+4y)＾2/225-(3y/15)＾2＝1より、x+4y＝1/cosθ、y/5＝tanθ　であるから、x＝(75-4sinθ)/5sinθ　y＝5tanθ　‥‥(1)
ＯＰ＾2＝x＾2＋y＾2＝(1)を代入して三角関数で表示して＝sinθの分数関数になるから、0≦θ＜2π　で微分。

(解法-2)
こっちの解法の方が簡単なんだが。双曲線と原点を通る直線を考える。

x＝0の時、y＾2＝225/7　から　ＯＰ＾2＝x＾2＋y＾2＝225/7　これも解の一部。
x≠0の時、y＝mxとして条件式に代入すると、x＾2＝225/(7m＾2＋8m＋1)であるから、ＯＰ＾2＝x＾2＋y＾2＝(225+m＾2)/(7m＾2＋8m＋1)
この最小値を求める事になるが、微分は要らない。
(225+m＾2)/(7m＾2＋8m＋1)＝k　として分母を払い、判別式≧0　から求める。
そのときのmの値も求める事。

お礼

解答ありがとうございます。
１つ目の解法はsinθへの変形や計算が面倒ですが、なんとかできそうです。
２つ目の解法はmについての判別式を立ててみましたが、kの値がうまく出てきませんでした。解の公式で解いてみても、根号の中がすごく大きな値になってしまうのですが・・・
もう少し、ヒント頂けると助かります。