Lorentz boost

質問

時刻t=t'=0において2つの座標系OとO'は一致し、O'系はO系に対してv↑=(vcosθ,vsinθ,0)の速度で動いているものとする。
O'系とO系を結ぶLorentz変換 x^μ = Λ^μ_ν * x^νを与える行列Λを求めよ。
ただしx^1軸方向のLorentz boostは
Λ_1=
|coshσ,-sinhσ,0,0|
|-sinhσ,coshσ,0,0|
|0,0,1,0|
|0,0,0,1|
(行列の書き方がわからないのですが4×4行列です。)
coshσ=γ,sinhσ=βγ
である。

この問題なんですが、どのように解けばいいのでしょうか？
一応考えたのは、v↑がx^1x^2平面でθの回転なので、R(θ)という回転の行列を考えて、
O系をR(θ)廻したものと、O'系をR(θ)廻したものは与えられたLorentz boostで結ばれるので
R(θ)*r↑' = Λ_1 * R(θ) * r↑
よって求めるΛは
Λ=(R(θ))^-1 * Λ_1 * R(θ)
となってRの逆行列を求めなければいけなくなり、行き詰まってしまいました。
R^-1=tRとはならないですよね？
どのように解けばいいでしょうか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

R^-1=tRでいいのですよ！　Rが距離をベクトルの長さを変えない
ことからただちに導かれます。
任意の列ベクトルr,回転後をr'=R*rとすると、
r'^2 = tr'*r' = t(R*r)*(R*r)　※trはrの行ベクトル
=tr*tR*R*r = tr*r = r^2
のはずですから、tR*R = I（単位行列）

よろしければ、下記P.9～を参考にしてください。ただし、こちらは
任意方向へのローレンツ変換です。
http://homepage2.nifty.com/ysc/Rel.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
すごくわかりやすかったです。ありがとうございました。