数学 ベクトル

質問

次の問題が、分かりません。

ベクトルＡ１＝（１、１、１）、Ａ２＝（１、２、２）、Ａ３＝（３、２、１）は、一次独立であることを示せ、

さらに、任意のベクトルV＝（x、y、z）をA1、A２、A３の一次結合で表せ。また、A1＝（１、１、１）、A２＝（１，２，２）、B＝（３，２，２）は一次従属であることを示せ。

やり方が分かりません。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

まづ、一次独立／一次従属の定義を確認しましょう。
s A1 + t A2 + u A3 = 0 となる s, t, u が
s = t = u = 0 に限られるとき、A1, A2, A3 は一次独立。
s = t = u = 0 以外にも在るとき、A1, A2, A3 は一次従属です。

s A1 + t A2 + u A3 = V となる s, t, u は、
式を成分ごとに分けて連立方程式を解けば、
　　s + t + 3u = x,
　　s + 2t + 2u = y,
　　s + 2t + u = z
より、
　　s = 2x - 5y + 4z,
　　t= -x + 2y - z,
　　u = y - z
です。連立一次方程式は、解けますね？

ここで V = (0, 0, 0) にすると、s = t = u = 0。
すなわち、A1, A2, A3 は一次独立と判ります。

同様に、A1, A2, B でやってみると、
s A1 + t A2 + u B = 0 は、成分表示で
　　s + t + 3u = 0,
　　s + 2t + 2u = 0,
　　s + 2t + 2u = 0
となって、
　　s = -4u,
　　t = u,
　　u は任意
です。

ここで、例えば u = 1 としてみると、
(s, t, u) = (-4, 1, 1) ≠ (0, 0, 0) でありながら
s A1 + t A2 + u B = 0 となります。
すなわち、A1, A2, B は一次従属と判ります。

回答No.2

sanori

こんにちは。

＞＞＞ベクトルＡ１＝（１、１、１）、Ａ２＝（１、２、２）、Ａ３＝（３、２、１）は、一次独立であることを示せ、

ｐＡ１　＝　ｑＡ２　＝　ｒＡ３　＝　０
という式を立てたとき、ｐ＝ｑ＝ｒ＝０　になれば一次独立です。

＞＞＞さらに、任意のベクトルV＝（x、y、z）をA1、A２、A３の一次結合で表せ。

Ａ１とＡ２だけだと、ｘ＝ｙ　となるベクトルしか作れませんから、Ａ３は必要。
Ａ２とＡ３だけだと、ｘ＝ｙ＝ｚ　となるベクトルが作れないので、Ａ１は必要。
Ａ１とＡ３だけだと、ｘ≠ｙ＝ｚ　となるベクトルが作れないので、Ａ２は必要。

Ａ１、Ａ２、Ａ３のすべてが必要であり、かつ十分なので、
Ｖ　＝　ａＡ１　＋　ｂＡ２　＋　ｃＡ３

＞＞＞また、A1＝（１、１、１）、A２＝（１，２，２）、B＝（３，２，２）は一次従属であることを示せ。

Ａ２　－　Ａ１　＝　（０，１，１）
－Ａ３　＋　３Ａ１　＝　（０，１，１）

回答No.1

OurSQL

五月の下旬。
微積で苦しむのは当然ですが、線型がよく分からないのは非常に危険です。
特にこの問題は基本問題で、試験に出る可能性も低いくらいですよ。
さっそく今日から、心を入れかえて猛勉強してください。

方針はいくつかあります。
(1) 一次独立の定義に基づく、直接的な証明
(2) 行列の rank を調べる方法
(3) 行列式の値を計算する方法（ただし、今回のような正方行列の場合のみ）
(4) その他

使っているソフトに行列式の値を計算させたところ、－1 だといっています。

A_3 = ( 3, 2, 1 ) を B = ( 3, 2, 2 ) に置き換えると、値は 0 だといっています。

V = a A_1 + b A_2 + c A_3 を解くと、

a = 2x － 5y + 4z
b = －x + 2y － z
c = y － z

だそうです。