1+2+3+・・・=-1/12には意味がある？

質問

オイラーが証明した「すべての自然数の和は-1/12である(1+2+3+・・・＝-1/12）」は
定義域を間違えた誤謬だとこれまで思ったのですが、
「素数からゼータへ、そしてカオスへ」（小山信也）を読むと第９章で
ζ(s)の解析接続にs=-1を代入した値でこれが成立して、整数論的には「すべての自然数の和が
有限値を取る」のが非常に深淵な結果でありニュアンスがあってゼータ関数論では常識である
ようなことが書かれてましたが意味がよくわかりませんでした。
やっぱりこの式は重要なんでしょうか？？？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

なんだかこのような質問が多くなってきてる気がしますが・・・
式だけ一人歩きしてしまって肝心な中身が置き去りになってしまってる。最初は興味深々だが本筋に行くに従って離れていきやがて忘れるという人がほとんどだということに専門家は気づくべきだと思いますね。
解析数論の一部の人とか特に数学に人を寄せ付けようと過剰に好奇心を煽るような記述に関してもっと気をつけるべきですね。

で、前置きはこのくらいにしまして、この等式についてですがNo１さんも回答されてるように「解析接続」を思い浮かべてるのであればとても重要な意味のあるものです。この式を単なる和の公式みたいに考えてるのであれば全く意味のないものです。「見方次第」というのが最もベストな回答でしょう。

蛇足ながらこのような等式にあまりこだわらないほうが良いと思いますよ。
というのも例えば「1-1/2+1/3-1/4+・・・=0（条件収束する交代級数というものがありそれは順番を入れ替えればどんな値にも収束させることが出来るという事実が背後にありそれは解析学において常識である）」って言ってるのとほとんど変わらないシロモノですから。重要なのはこの式ではなくて背後にある考え方。数学の基礎をしっかりと学ぶきっかけとなってくれれば的なニュアンスで専門家はこのような話をよくしているのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
複素解析は留数定理あたりまで勉強したのですが、その先の数論で
くだんのオイラーの式がいろいろと意味を持ってくるのかと思いましたが
そうでもないんですね。ちょっとゼータ関数を解析接続して使いよくしました
という感じなんですね。
1-1/2+1/3-1/4+・・・=0の例えはわかりやすかったです。

回答No.1

alice_44

オイラーは、証明したのではなく、主張したのです。
まだ、収束性とか極限とかの概念が
確立していない時代でしたから。

ζ(-1) = -1/12 であることは、事実だし、
それなりの意味があると思いますが、
ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + …
と書くのは、単なる間違いです。
1 + 2 + 3 + 4 + … は、収束しませんから。

s = -1 を代入する前に解析接続しているんだ
と言いたいなら、見てそれと判る記法が必要です。
1 + 2 + 3 + 4 + … という式には、
ζ(s) どころか、s の字さえ登場しません。
この式を見れば、発散する以外の解釈は
ありえないです。

お礼

すいません。途中を端折りすぎました。