三角形の重心とその内接円の中心

質問

中学生レベルになるのでしょうね。

三角形の重心とその内接円の中心が一致するための必要十分条件ってあるのでしょうか?

正三角形の場合、両者は一致するようですが...

回答No.2

adinat · ベストアンサー

どなたかエレガントな解答をしてくださるのを期待します。
ですが、すぐに思いつく方法では高校二年レベルですね。
ベクトルでは内心問題は少してこずりますので、解析幾何で。
ΔABCをA(0,0)、B(a,0)、C(b,c)となるように座標設定。
ただしa>0、c>0とします。
このとき重心Gの座標は((a+b)/3,c/3)になります。
これが内心になるためにはすべての辺との距離が等しければよい。
さて直線ACの方程式はcx-by=0です。
これとGの距離は点との直線の距離の公式より
｜c・(a+b)/3-b・c/3｜/√(c^2+b^2)
また直線BCの方程式はcx+(a-b)y-ac=0なので、Gとの距離は
｜c・(a+b)/3+(a-b)・c/3-ac｜/√{c^2+(a-b)^2}
これらがGと直線ABとの距離c/3に等しいから
a^2=b^2+c^2=(a-b)^2+c^2
を得ます。これはAB=BC=CAなのでΔABCは正三角形です。

必要条件を絞るかっこいい方法、あるとは思いますけどね。

お礼

面倒な計算式まで書いて下さって、ありがとうございました。
大変良く分かりました。

回答No.1

noname#24477

正三角形だけです。

重心は中線の交点
内心は角の２等分線。
中線と角の２等分線が一致するのは２等辺三角形のとき
これが３つの角について言えるのだから
正三角形。

お礼

ありがとうございました。
考えてみれば、3つの直線が1点で交わることも、凄いことですよね。