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数学の質問です
整式f(x)と g(x)の間にx^4f(x)=(x-1)g(x)という関係が成立する。f(x)は二次式であり、g(1)=1が成立する。このとき、g(x)-1が(x-1)^2で割り切れるとき、f(x)を求めよ。 よろしくおねがいします。 答え：)=-4x^2+9x-5
- akebono003
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- satoru9999
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f(x)=ax^2+bx＋c (f(x)は２次式なのでa≠0)とおく。- (1) x^4f(x)=(x-1)g(x)にx=1を代入すると、 f(1)=0 -(2) (1)にx=1を代入すると、 f(1)=a+b+c (2)より a+b+c=0 c=-a-b -(3) (3)を(1)に代入して整理すると、 f(x)=ax^2+bx-a-b f(x)=a(x^2-1)+b(x-1) f(x)=(x-1)(ax+a+b) -(4) x≠1として、 x^4f(x)=(x-1)g(x)に(4)を代入してx-1で両辺を割ると x^4(ax+a+b)=g(x) -(5) x^4(ax+a+b)-1=g(x)-1 ax^5+(a+b)x^4-1=g(x)-1 h(x)を3次以下の関数として、g(x)-1=h(x)(x-1)^2とおけるので ax^5+(a+b)x^4-1=h(x)(x-1)^2とおけるので代入して ax^5+(a+b)x^4-1=（dx^3+ex^2+fx+g）(x^2-2x+1) 左右のx^5の係数の比較（ばらさなくてもわかるでしょう）より a=d x^4の係数の比較よりe-2d=a+b x^3の係数の比較よりf-2e+d=0 x^2の係数の比較よりg-2f+e=0 xの係数の比較よりf-2g=0 定数の比較よりg=-1。 あとは下から順に求めていくと。 f=-2 e=-3 d=a=-4 b=9 よってf(x)=-4x^2+9x-5（x≠1） （ちなみにg(x)=-4x^5+5x^4） このf(x)にx=1を代入するとf(1)=0となり、すべてのxに対して f(x)が存在する。 よって f(x)=-4x^2+9x-5 微分を使えばもっと早いですが、使わずにやってみました。 数学は２０年ぶりなので合っているか自信ないですが、参考にして 見てください。
お礼
回答ありがとうございます♪ ２０年ぶりなのですか！？ それなのに解答できるなんて素晴らしいですね！ 僕は現役なのに分かりませんでした、、、 数学の力が付くよう日々精進してまいります！
- spring135
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＞整式f(x)と g(x)の間にx^4f(x)=(x-1)g(x)という関係が成立する。f(x)は二次式であり これより f(x)=(x-1)(ax+b) (1) g(x)=x^4(ax+b) >g(x)-1が(x-1)^2で割り切れるとき これより g(x)-1=x^4(ax+b)-1=(x-1)^2p(x) (2) p(x)は３次式 (2)において x=1とすると a+b-1=0 (3) (2)をｘで微分して 5ax^4+4bx^3=2(x-1)p(x)+(x-1)^2p'(x) x=1とすると 5a+4b=0 (4) (3)、(4)より a=-4, b=5 (1)より f(x)=-4x^2+9x-5
お礼
回答ありがとうございます。 数Iの問題なのですが、積の微分法を使うとこんなにキレイにとけるのかと感心いたしました。 これからも勉強の参考にさせて頂きます。
- さゆみ（@sayumi0570）
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- さゆみ（@sayumi0570）
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お礼
ご回答頂きありがとうございます。 ３回も投稿してくださりとても分かりやすかったです。 一番最初に答えてくださったので、ベストアンサーにさせていただきます。