数Iの質問です

質問

整式f(x)について、恒等式

f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2

が成り立つ。

【問】
f(x)を決定せよ。

…………………………………………………………

いろいろやって

f(0)=f(1)=f(2)=0

となるからf(x)は

x,(x-1),(x-2)

の３つを因数の一部に持つというのはわかりました

…わかりましたけど

こっからどうすればいいのですか？

おそらく、直感ではf(x)は三次の式だと思うのです

それを証明して、そっからf(x)の式を絞り込んでいくのじゃないかなぁとは思うのですが…

どうやってf(x)が三次かを証明すればいいのかわかりません

ご協力お願いします

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

そこまで解ってるなら、本当に、f(x)の次数を見つけるだけですね。

こういうときは、とりあえず、f(x)がn次式である、と、仮定してみます。

すると、左辺のf(x^2)は明らかに、(2n)次式、

右辺は、ちょいと考える必要があります。
x^3 * f(x+1) は、f(x+1)がn次式だから、(n+3)次式で、-2x^4 + 2x^3 は、４次式、
ということは、n≧1 のときは、(n+3)次式 だけど、n = 0 のときは、４次式、という、場合分けが必要、
ただ、n = 0 (0次式というのは、定数項だけ、ということ、念のため)だと、左辺が、0次式になってしまって、等式が成り立ちません。

そこで、右辺は(2n)次式で、左辺は(n+3)次式、方程式として、たまたま、この等式を満たすxの値があるか、ではなく、恒等式として、xがどんな値でも、この等式が成り立つ、という話をしているので、次数は等しくないといけない、つまり、2n=n+3、
これを解けば、n=3となるので、f(x)は３次式です。(これで、n=2と出たりしてたら、この計算か、因数求めた計算にミスがあるはずですね^^)

既に、解っておられるように、x(x-1)(x-2) がf(x)の因数なので、f(x) = ax(x-1)(x-2) (aは定数で、a≠0) とおける、
で、元の式に代入して、aの値を求める。

老婆心で、ちょいと付け加えておくと、代入した式・
a*x^2*(x^2-1)(x^2-2) = x^3*a(x+1)x(x-1) - 2x^4 + 2x^2 は、すぐに展開したりせず、
a*x^2*(x^2-1)(x^2-2) = a*x^4*(x^2-1) - 2x^2*(x^2-1) = x^2*(x^2-1)(a*x^2 - 2)
a*x^2*(x^2-1)(x^2-2) - x^2*(x^2-1)(a*x^2 - 2) = 0
x^2*(x^2-1){a(x^2-2) - (a*x^2 -2)} = 0 として、{～} = 0 から、aを求める。

この問題では、大した差はありませんが、くくれるものは皆くくってから計算する癖を付けておけば、本当に大変な計算をするような問題では、楽になることがあります。

お礼

ありがとうございます

すごい丁寧です

あとは自分の理解が及ぶかどうかですね…

回答No.3

alice_44

f(x) の次数は、真っ先に調べる所ですよね。

f を n 次式とすると、問題の恒等式の左辺は 2n 次、
右辺は n+3 次か 4 次以下かのどっちかです。
(いきなり n+3 次か 4 次か…では、ありません。
n+3 = 4 の場合に、4次項が相殺するかもしれないから。)

右辺が n+3 次になるのは、
2n = n+3 かつ n+3 ≧ 4 の場合。すなわち、n = 3 の場合。

右辺が 4 次以下になるのは、
2n ≦ 4 かつ n+3 ≦ 4 の場合。すなわち、n = 0 または 1 の場合。

f(0) = f(1) = f(2) = 0 であることが判れば、
上記の条件を満たすのは、
f(x) = ax(x-1)(x-2) (aは定数 a≠0) と
f(x) = 0 (定数関数) だけです。

ここまで絞れた候補を、もとの恒等式へ代入して、
解になっているかどうか確認すれば、a の値が求まって完了します。

お礼

ありがとうございました

自分の答案は、答えは出せたけどめちゃくちゃ減点されそうな答案だとわかりました…

回答No.1

Kules

おそらく、直感ではf(x)は三次の式だと思うのです

この直感は当たっているはずです。
確かめるためのポイントは、

・左辺が3次式で右辺が4次式であることはあり得ない（恒等式であれば、左辺と右辺の次数は一致する）
・3次式の3次の係数が0であることはあり得ない
・○次式、というのは、多項式の中で次数が最大のものしか関係ない
ということでしょうか。

f(x)の最高次の項をax^nとします（a≠0です。）
左辺の最高次の項=右辺の最高次の項
という式を作ってやれば、nを求めることができます。
ただ、右辺には2x^4なんてヤラシイ項がいるので、そちらが最大次数にならないかの確認は必要だと思われます。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。

やっぱり三次でいいのだとは思うのですよ

いろいろ試したら

与えられた恒等式を(＊)とでもすると

(i)f(x)が四次の時、(＊)左辺は八次、(＊)右辺は七次

(ii)f(x)が五次の時、(＊)右辺は十次、(＊)左辺は八次

どんどん次数を増やしていくと、(＊)右辺と左辺の次数差が等差１の等差数列的に広がっていくんですよ

それに対して次数が３のときは

(＊)右辺、左辺の次数はともに６

やっぱり３しか有り得ない

しかも先に因数が３つ以上あると求めていて、f(x)の次数は３以上にもあてはまりますしね

…なのですが

これの証明は帰納法でも使うんでしょうかね？

まぁf(x)は三次として

あとは

f(x)の項に定数が存在するかしないかの２通りで場合分けみたいですね

とにかくありがとうございました