数学IIIの問題です

質問

数学IIIの問題です

学校のテキストの問題で分からない問題があります
もしよければ途中式を教えてください

f（ｘ）＝｛０ （－１≦ｘ≦１）
｜ｘ｜－１ （ｘ＜－１、１＜ｘ）

ｇ（ｘ）＝｛ｘ^2－１ （ｘ＜０）
ｘ－１ （０≦ｘ）

（ｇ。ｆ）（ｘ）、（ｆ。ｇ）（ｘ）を求めよ

答えが

（ｇ。ｆ）（ｘ）＝｛－１（－１≦ｘ≦１）
　　　　　　　　　｜ｘ｜－２　（ｘ＜－１、１＜ｘ）

（f。g）（ｘ）＝｛ｘ^2－２（ｘ＜－√２）
　　　　　　　　０（－√２≦ｘ≦２）
　　　　　　　　ｘ－２（２＜ｘ）

です。

よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

まず、y＝ f(x)と y＝ g(x)のグラフを描いてみましょう。

(g○f)(x)は g(f(x))ということですから、f(x)の値によって gの形が変わることに注目します。
一度、g(f(x))＝ g(A)（A＝ f(x)）と置き換えてもいいかもしれません。

すると、
・f(x)が f(x)＜ 0ならば、g(A)＝ A^2- 1
・f(x)が f(x)≧ 0ならば、g(A)＝ A- 1

となります。
y＝ f(x)のグラフをみると、常に f(x)≧ 0であることがわかります。
よって、g(A)は常に g(A)＝ A- 1の形になります。
あとは、f(x)＝ Aの形を当てはめるだけです。

次に、(f○g)(x)ですが、先ほどと同じように g(x)＝ Bとでも置き換えてみましょう。
そして、f(x)の定義域から
・-1≦ g(x)≦ 1のときは、f(B)＝ 0
・g(x)＜ -1, 1＜ g(x)のときは、f(B)＝ |B|- 1

となります。
いまの場合は、g(x)＜ -1, 1＜ g(x)を場合分けすることになります。

一度、文字として置き換えてみた方がわかりやすいと思います。