振り子の問題

質問

段差のある天井の交点とする長さ２ｈ・質量mの振り子がある。（図）この振り子が１往復する時間とおもりを支点より左側の領域で初期変位θ＝θ１で静かに離した場合の支点より右側の領域における変位角θ２を求めよ。
という問題なんですが、自分は以下のように考えてみました。

最初に長さが２hとｈのときの周期を求めました。

長さ2ｈの周期
T（２h）＝2π√（2h/g）

長さhの周期
T（h）＝２π√（h/ｇ）

１往復する時間は2hの半周期とhの半周期の合計なので
T＝1/2T（2h）＋1/2T（h）
　＝1/2×2π√（2h/g）＋1/2×2π√（h/g）
　＝π√（h/g）×（√2＋1）

次はh2とhの周期比を使い変位角θ2を求めました。
θ1：θ2＝√2：１
θ2＝1/√2θ1
θ1＝θなので
変位角θ2は1/√2θ

このような考え方で良いでしょうか?
また、間違っている部分や他の解き方などがあれば教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

周期と角振幅は比例のような単純な関係にありません。等時性により，周期は振幅に「ほとんど」無関係です（角振幅が大きいとわずかに増加）。

この問題は典型的なエネルギー保存の問題です。振り子は初めと同じ高さまで上昇しますので，

2h(1-cosθ1) = h(1-cosθ2)

の関係が成立します。

お礼

やはり周期と振幅はほとんど無関係なんですね＾＾；

勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

kinngan-shufu

この問題は、振り子の位置エネルギーを考えたほうがよさそうです。

つまり、左側の振り子の位置エネルギーの減分は

mg（２h－２hcosθ1）

これが、右側の振り子の位置エネルギーの増分に当てられるので、
右側の振り子の位置エネルギーの増分は

mg（h―hcosθ2）

エネルギー保存則より、上を連立させて、

２cosθ１＝１+cosθ2

となりませんか？

お礼

ありがとうございました。
たぶんこれを解くとθ2＝√２θ1になりますよね??