面積分の問題です

質問

E(x)=Ω/4πε・x/(x^2+y^2+z^2)^3/2
についてr=aの面積分の求め方がわかりません。解答お願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

「ベクトルx」を「x↑」などと表すと，
この問題って，

E↑(x↑) = Ω/(4πε) x↑/(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)

の原点中心，半径aの球面S上での面積分

∫_S E↑(x↑)・n↑ dS (n↑はSの外向き単位法線ベクトル)

を求めよ，ってことでしょうか．

だとしたら，r = |x↑|と表すと，

E↑(x↑) = Ω/(4πε) x↑/r^3,

球面上で n↑ = x↑/r なので

E↑(x↑)・n↑
= Ω/(4πε) x↑・x↑/r^4
= Ω/(4πε) 1/r^2

であり，この値は球面S上のどこでも
Ω/(4πε) 1/a^2
であるから，
∫_S E↑(x↑)・n↑ dS
= Ω/(4πε) 1/a^2 ・(球面の表面積)
= Ω/(4πε) 1/a^2 ・4πa^2
= Ω/ε.

これが求める積分ではないでしょうか．

電磁気学のガウスの法則（定理）でしょうね．
Ωじゃなくって元はQだったんじゃないですか?

お礼

ありがとうございます。 解りやすいです。