logの問題

質問

log(底2)x+log(底x)4のx＞1における最小値がわかりません。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

A=log[2]x+log[x]4=log[2]x+2log[x]2
=log[2]x+2/log[2]x（∵底の変換公式適用）

t=log[2]xとおくとx>1なので t>0

A=t+2/t≧2√[t(2/t)]=2√2(∵相加平均と相乗平均の関係）

等号はt=2/t,すなわち t=√2（x=2^√2)のとき
Aは最小値 2√2 をとる。

回答No.2

mister_moonlight

最大値や最小値を求めるとき、どんな方法を使っても、それを与える(与えられた条件を満たす)xの値の存在を確認しなければならない。
この事は、絶対に憶えておかねばならない事。

相加平均・相乗平均に気がつかなくても、極めて初歩的な“判別式”という手がある。
判別式を馬鹿にしてはいけない。時として、大きな力になる。
［2］は底が2の事とする。

log［2］x＝tとすると、x＞1より　t＞0　‥‥(1)　
log(底2)x+log(底x)4において、k＝t＋2/t　として、分母を払うと、t＾2-kt＋2＝0　‥‥(2)　より、これが実数解を持つから　判別式≧0。　k＞0より　k≧2√2.
k＝2√2の時、(2)より　t＝√2＝log［2］x　これは(1)を満たすから、求めるものである。

以上より、最小値は　2√2　で、それを与えるxの値は　2＾√2.