log

質問

2≦x≦4で定義された関数f(x)=(log(a)x)＾2 ＋log(a)＊(x＾2)＋５において
(a)=1/2のとき、f(x)の最大値、最小値をもとめる
(b)a=2* 4＾(3/1) のとき、f(x)の最大値、最小値をもとめる
問題です。

log(a)x=Xとおくとf(x)=(X＾2)-2X＋5
(a)
a=1/2のとき2≦x≦4より

log(a)2≧X≧log(a)4 となるのはaの値が0<a<1の範囲だから符合がかわるのでしょうか？
-1≧X≧-2にどうしてなるのか教えてください。

(b)a=2* 4＾(3/1) のとき2≦x≦4より
log(a)をつけてlog(a)2≦x≦log(a)4となって
(3/5)≦X≦(6/5)にどうしてなるのか分からないので教えてください

回答No.3

info22 · ベストアンサー

＞2≦x≦4で定義された関数f(x)=(log(a)x)＾2 ＋log(a)＊(x＾2)＋５
＞log(a)x=Xとおくとf(x)=(X＾2)-2X＋5
式のどちらかが違っていますね。
f(x)=(log(a)x)＾2 ＋log(a)＊(x＾2)＋５
g(X)=(X＾2)-2X＋5 (式が違いますのでgを使いましょう)

Xの項の係数は「-2」が正しいですか？
f(x)の方が正しいとすれば
g(X)=(X＾2)+X＋5
となります？

＞log(a)2≧X≧log(a)4 となるのはaの値が0<a<1の範囲だから
＞符合がかわるのでしょうか？
そうです。

＞-1≧X≧-2にどうしてなるのか教えてください。
対数の底の変換を1/2から2に変換してみて下さい。
log(1/2)2＝{log(2)2}/{log(2)(1/2)}＝{log(2)2}/{log(2)(1/2)}
＝1/(-1)＝-1
log(1/2)4＝log(1/2)(2^2)＝2log(1/2)2＝-2

＞(b)a=2* 4＾(3/1) のとき
指数部の(3/1)は(1/3)の間違いではないですか？

＞log(a)2≦x≦log(a)4となって
＞(3/5)≦X≦(6/5)にどうしてなるのか
a=2* 4＾(1/3)（＞１）として
a=2*2^(2/3)=2^(5/3)

log(a)2={log(2)2}/{log(2)a}=1/{log(2)a}
1/(5/3)=3/5
log(a)4=2log(a)2=2(3/5)=6/5

従ってlog(a)2≦x≦log(a)4は
3/5≦x≦6/5
＞(3/5)≦X≦(6/5)
大文字のXではないです。

もう少し質問の式や文字を正確に書いてください。
ここは不特定多数の方が見ますので質問の式や文字は正確に書き、
間違いは正しく訂正して下さい。

=

お礼

どうもありがとうございます。
問題がおかげで解く事ができました。

回答No.4

kkkk2222

ーーー
２≦x≦４

F(x)=【(log［a］x)＾2)】＋2x(log［a］x)+5 でやります。
＜F(x)=【(log［a］x)＾2)】ー2x(log［a］x)+5　なら修正して下さい。＞　

(log［a］x)＝Ｘ
此処で、Ｘの範囲を求める時＜不等号の向き＞が、
そのままか、逆転するのか、と言う内容のようです。

一般的にいえば、
関数が＜単調増加なら＞そのまま。
関数が＜単調減少なら＞逆転。

(log［2］x)は＜単調増加＞でそのまま。
(log［1/2］x)は＜単調減少＞で逆転。

対数関数で、底が［a］＞１の時＜単調増加＞でそのまま。
対数関数で、底が［a］＜１の時＜単調減少＞で逆転。
｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　○
｜　　　　　　　　　　　　　　○(log［2］x２)
｜　　　　　　　　○(log［2］x１)
｜　　　　　○
｜　　　○
｜　　○
ーーーーーーーｘ１ーーーｘ２ーーーーーーーー　
｜　○　　　
｜
ｘ１、ｘ２の大小と、(log［2］x１)、(log［2］x２)の大小は一致する。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
｜
｜ ○
ーーーーーーーｘ１ーーーｘ２ーーーーーーーー｜
｜　　○
｜　　　○
｜　　　　　○
｜　　　　　　　 ○(log［1/2］ｘ１)
｜　　　　　　　　　　　　　　○(log［1/2］ｘ２)
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　○
ｘ１、ｘ２の大小と、(log［2］x１)、(log［2］x２)の大小は逆転する。　　　　　　　　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　
指数関数ならば、
２＾ｘは＜単調増加＞、（１／２）＾ｘは＜単調減少＞
ｙ＝ｘ＾２ならば、
ｘ≧０で＜単調増加＞、ｘ≦０で＜単調減少＞

＜単調増加＞か＜単調減少＞は、其の関数に依存すると。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　
＞＞［a］=1/2のとき、f(x)の最大値、最小値をもとめる。

F(x)=【(log［1/2］x)＾2)】＋2x(log［1/2］x)+5
２≦x≦４　

関数、(log［1/2］x)は＜単調減少＞で、
＜不等号の向き＞は＜逆転する＞。

底を［1/2］として、
２≦x≦４　の各辺の対数をとると、
＜不等号の向き＞は＜逆転する＞。

(log［1/2］２)≧(log［1/2］x)≧(log［1/2］４)
log［1/2］x=Ｘ
ー１≧Ｘ≧ー２、書き換えて、

ー２≦Ｘ≦－１
Ｇ（Ｘ）＝（Ｘ＾２）＋２Ｘ＋５
＝（（Ｘ＋１）＾２）＋４
（Ｘ＝－１）、ｘ＝２のとき、ＭＩＮ　１－２＋５＝４
（Ｘ＝－２）、ｘ＝４のとき、ＭＡＸ　４－４＋５＝５
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　

＞＞［a］＝2(4^(3/1))
（４＾(3/1)） ＞１
２（４＾(3/1)）＞１
［a］＞１

F(x)=【(log［a］x)＾2)】＋2x(log［a］x)+5
(log［a］x)　の底［a］＞１
関数、(log［a］x)は＜単調増加＞で、
＜不等号の向き＞は＜そのまま＞。

底を［a］として、
２≦x≦４　の各辺の対数をとると、
(log［a］２)≦(log［a］x)≦(log［a］４)
(log［a］ｘ)＝Ｘ

此処で、
(log［a］２)に　＜底を２で、底の変換公式＞使用して、

(log［a］２)
＝（log［２］２）／（log［２］2(4^(3/1))）
＝１／［（log［２］２）＋（log［２］(4^(3/1))］
＝１／［１＋（１／３)（log［２］４)］
＝１／（１＋（２/３)）
＝３／５・・・このあたりは、丁寧に計算して下さい。（＃１）

(log［a］４)
＝（log［２］４）／（log［２］2(4^(3/1))）
＝６／５・・・（＃１）がＯＫなら、ほぼ自明。
（３／５）≦Ｘ≦（６／５）

Ｇ（Ｘ）＝（Ｘ＾２）＋２Ｘ＋５＝（（Ｘ＋１）＾２）＋４

（Ｘ＝(3/5)）、ｘ＝２　のとき、
ＭＩＮ　(3/5)(3/5)+2(3/5)+4=(39/25)+4=・・・
（Ｘ＝(6/5)）、ｘ＝２　のとき、
ＭＡＸ　(6/5)(6/5)+2(6/5)+4=(96/25)+4=・・・

回答No.2

banakona

（ａ）
＞log(a)2≧X≧log(a)4 となるのはaの値が0<a<1の範囲だから符合がかわるのでしょうか？

その通りです。
＞-1≧X≧-2にどうしてなるのか
対数の定義から、ａ＝1/2のとき、log(a)2は「1/2を何乗したら２になるか」ということです。指数法則などから明らかに－１ですね。log(a)４も同様です。

（ｂ）
これは少々分かりにくいので、底と真数を逆にしましょう。念のために示せば

log（ｐ）ｑ＝１／log（ｑ）ｐ（ただしｐ、ｑはいずれも１ではない正の数）。
つまり「底と真数を逆にしたら逆数にすればいい」ということです。
また、a=2* 4＾(3/1)は恐らくa=2* 4＾(1/3)の間違いでしょう。

まずは左側。a=2* 4＾(1/3) で４＝２^2なので指数法則により
ａ＝２＊（２^2）＾(1/3)＝２^1＊（２^2/3)＝２^(１＋2/3）＝２^(5/3)
∴log(2)ａ＝log(2)２^(5/3)＝５／３　∴log(a)２＝３／５

次に右側。２＝４^(1/2)だからａ＝４^(1/2)＊４＾(1/3)＝４^(1/2+2/3)＝４^(5/6）
∴log(４)ａ＝log(４)４^(5/6)＝５／６　∴log(a)４＝６／５

回答No.1

fjfsgh

>log(a)2≧X≧log(a)4 となるのはaの値が0<a<1の範囲だから符合がかわるのでしょうか？

そうです。

補足

ありがとうございます。
(a)の-1≧X≧-2
と
(b)の(3/5)≦X≦(6/5)
がどのように現われたのか分からないので教えてください