loｇになると直感的な大きさがわかりません。

質問

logの底が1>ならlogをつけてもとっても大きさの順番はそのままで
底が0<底<1ならlogをつけると大きさの順番は反対になり
とっても反対になりますよね？あいまいです。

log2{f（x）}があったとしたら(2は底,{}は真数)
f(x)が下に凸ならlogをつけても大小関係は変わらず
頂点が最も値が大きくなりますか？

逆に底が1/2だったら頂点が最も値が小さくなりますか？

回答お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞logの底が1>ならlogをつけてもとっても大きさの順番はそのままで底が0<底<1ならlogをつけると大きさの順番は反対になり
とっても反対になりますよね？

　その通りです。
　底が１より大きければ、真数の大小関係は対数をとってもそのまま維持されます。
　逆に、底が１より小さければ、真数の大小関係は対数を取ると反対になります。

＞log2{f（x）}があったとしたら(2は底,{}は真数)、f(x)が下に凸ならlogをつけても大小関係は変わらず頂点が最も値が大きくなりますか？

　逆ですね。
　f(x)が≪上に≫凸ならlogをつけても大小関係は変わらず頂点で対数も最大になります。

＞逆に底が1/2だったら頂点が最も値が小さくなりますか？

　同様に、f(x)が≪上に≫凸ならlogをつけると大小関係が逆になり、頂点で対数は最小になります。

　ちなみに、微分は習っていますか？
　微分を知っていれば、頂点では微係数が０になりますが、これは対数をとっても同様に同じｘの値で微係数は０になり、このことから対数をとっても頂点のｘ座標は変化しないことが分かるかと思います。

お礼

＞f(x)が下に凸ならlogをつけても大小関係は変わらず

上に凸ででした。

微分は習ってますがそこまで習ってないです。

回答ありがとうございました。

回答No.4

Ishiwara

＃３です。
「質問にきちんと答えてください」と言われるかもしれないので‥

y=f(x)が下に凸であるとき、log2(y)は、yの頂点において最大となりますか？
というご質問ですか？

答はノーです。
log2(y)は、yに関して単調増加ですから、yが下に凸（極小値）となる点で、log2(y)も減少から増加に転じます。（もちろん、ここでyが正でないと議論が成立しませんが。）

同様に「逆に、底が1/2だったら…」についも「ノー」です。

回答No.3

Ishiwara

ある数に１.１を何回も掛ければ、どんどん大きくなりますよね。
０.９を何回も掛ければ、どんどん小さくなります。
これと同じ理屈です。
０.９を「底数」、掛けた回数を「対数」、掛けた結果を「真数」と呼んでいるだけです。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。　お礼をありがとうございます。

＞微分は習ってますがそこまで習ってないです。

　関数f(x)の底がａの対数をとると、log_a{f(x)} になりますが、これの微分を取りますと、次のようになります。

　[log_a{f(x)}]'　＝f'(x)/{f(x)log(a)}　　（ただし、log(a)は真数がａの自然対数)

　ここで、f(x)は対数を取ることができるので、f(x)＞０　であることが担保されています。
　また、ａ≠１ですので、log(a)≠０です。
　これらのことから、[log_a{f(x)}]'＝０　の解を求めることは、f'(x)の解を求めることと同じことになることが分かります。
　つまり、f'(x)＝０と[log_a{f(x)}]'＝０の解は一致しますので、f(x)の頂点は、log_a{f(x)}の頂点でもあると言えます。

　なお、log(a)の符号は、ａ＞１ならば正、ａ＜１ならば負です。
　従って、ａ＞１では、f'(x)と[log_a{f(x)}]'の符号は一致し、f(x)とlog_a{f(x)}の増減は一致します。逆に、ａ＜１では、f'(x)と[log_a{f(x)}]'の符号は反転し、f(x)とlog_a{f(x)}の増減は逆になることが分かります。