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証明

中学生にもわかりやすく教えてください。 お願いします。 三角形ABCにおいて、辺BCの中点Mとし、内部に1点Pを取る。 図のような折れ線MPQを引いて、三角形ABCの二等分するには、辺AB上の点Qをどのような位置にとればよいか答えよ。

みんなの回答

  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)
回答No.6

#5です。 ちょっと補足します。 #5では >P点が△AMDの内部にあるとします。 ・・・ >Pが△DMCの内部にある場合についても同様の証明ができます。  図が狭くなって少し見にくいですが同じ文字を使うことができます。 と書いています。 でも証明を見つける段階のことで言うと、見やすいか、見にくいかは大きな問題です。 私ははじめPが△DMCの内部にある図で考えていました。 #5に書いたような関係は見えてきませんでした。 どちらでも出来るというのは結果論です。 関係を見つけ出しやすい図と見つけ出しにくい図とがあります。 図で考えて行く時はこういうことがあるというのを踏まえておく必要があると思います。

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  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)
回答No.5

#3です。 作図だけで求めることができました。 #3に書いた方法で求めた結果から発展させています。2段階になっています。 △ABCのBCの中点をMとします。CA,AMの中点をD,Eとします。MDを引きます。MD//ABです。 P点は△AMCの内部にあるはずです。 P点が△AMDの内部にあるとします。 (1)PからAMに平行な線を引きます。MDとの交点をXとします。    XEを結んで延長します。ABとの交点をYとします。    △AYE=△EMX=△EMPです。    (#3に折れ線PQRで良ければと書いたのはこの線です。) (2)EからPYに平行な線を引きABとの交点をQとします。PQを引きます。    (このPQが求める直線です。)        PQとEYの交点をZ、PQとAMの交点をWとします。    △YQE=△PQE    △ZQEが共通ですから △YQZ=△PZE=△PWE+△WZE    △AQW=△AYE+△YQZ-△WZE    △PWM=△PEM+△PWE    △AQW-△PWM=(△AYE-△PEM)+(△YQZ-△PWE-△WZE) =0        折れ線MPQは三角形ABCの面積を二等分することが証明できました。 Pが△DMCの内部にある場合についても同様の証明ができます。 図が狭くなって少し見にくいですが同じ文字を使うことができます。  

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  • muturajcp
  • ベストアンサー率77% (511/658)
回答No.4

PからABへの垂直点をD PからACへの垂直点をE PからBCへの垂直点をF ABの中点をG ACの中点をH とすると |△BMP|=|BM||PF|/2=|CM||PF|/2=|△CPM| |□BMPQ|=|△BPQ|+|△BMP| |AQPMC|=|□AQPC|+|△CPM| |□BMPQ|=|AQPMC| だから |△BPQ|=|□AQPC|=|△AQP|+|△APC| |△ACP|=|AC||PE|/2 |QB||PD|/2=(|AQ||PD|+|AC||PE|)/2 |QB||PD|=|AQ||PD|+|AC||PE| |QB|-|QA|=|AC||PE|/|PD| |QA|=|AB|-|QB| |QB|=(|AB|+|AC||PE|/|PD|)/2=|AB|/2+|AC||PE|/(2|PD|) |QG|=|QB|-|AB|/2=|AC||PE|/(2|PD|) ∴ |AC||PE|≦|AB||PD|のとき QはAG上の点で |QG|=|AC||PE|/(2|PD|)となるように点Qをとる |AB||PD|<|AC||PE|のとき QはAH上の点で |QH|=|AB||PD|/(2|PE|)となるように点Qをとる

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  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)
回答No.3

中学生だということですが PQが直線だとするとかなり難しいように思います。 簡単に作図で求めるというわけにはいきません。 AM上の点Rで折れ曲がっていてもかまわないということであれば簡単に作図で求める方法があります。折れ線MPRQが三角形ABCの面積を2等分します。

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  • nattocurry
  • ベストアンサー率31% (587/1853)
回答No.2

図も無いし、「三角形ABCの二等分するには」という文章は日本語として変なので、推測でしか回答できませんが、、、 点P、点Q、関係なく、線分AMで△ABCを分けると、三角ABCを二等分できます。 点Qが辺AB上にあるとのことなので、もし点Pが線分AMより点B側にあると、点Qを辺AB上のどの位置にとっても、△ABCを二等分できないので、点Pは線分AMより点C側にあるものと推測します。 線分AMと線分PQとの交点を点Rとすると、△AQR=△RPMとなれば、折れ線MPQは△ABCを二等分することになります。 ここから先は、点Pがどのような位置なのかで、点Qをどのような位置にとれば良いかが変わるので、答えようがありません。

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  • puusannya
  • ベストアンサー率41% (59/142)
回答No.1

図がありませんよ。

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