幾何 作図

質問

(5)右の図のように、△ABCとその内部に点Pがある。辺AB,BC上にそれぞれ点Q,Rをとり、△PQRをつくる。
点Pを固定するとき、△PQRの周りの長さがもっとも短くなるような点Q,点Rの位置を、作図によって求めなさい。

この問題がよくわかりません。どうやって作図するかを説明してくださると嬉しいです‼︎
（右の図は写真が添付してあります。）

よろしくお願いします。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

＞ABを軸とするPの対称点P1とBCを軸とするPの対称点P2を直線で結び、
この線分P1P2とABとの交点をQ、同じくBCとの交点をRとすればよい。

回答No.7

ORUKA1951

P'の最短距離と言う事は、辺AB,辺BCへの垂線じゃない。

回答No.6

yyssaa

＞回答No.5の図で何故「△PQRの周りの長さがもっとも短くなる」
のか説明します。
　図でPQを結んで出来る△PQP1は二等辺三角形だからPQ=P1Qです。
同じくPRを結んで出来る△PRP2も二等辺三角形だからRP=RP2です。
従って、△PQRの周りの長さ=PQ+QR+RP=P1Q+QR+RP2になります。
そして、この式は点Q点Rがどこにあっても成り立つので、△PQRの
周りの長さはP1からQとRを経由してP2に至る長さと等しく、この
長さがもっとも短くなるのは、P1とP2を直線で結んだときになる
からです。

回答No.4

ORUKA1951

結構この問題引っかかる人が多いようですね。辺に垂線ではありません。P-Qの長さを考慮しなければなりません。
　コンパスを使ってA'、P'の位置を決めてさらにもう一度、線対称の三角形とP”を作成してPからP"に直線を引き、それぞれの辺との交点を結ぶと出来上がり。
　証明はNo.2の回答に添付の図で一目瞭然でしょう。

回答No.3

weboner

こういうことじゃないかな？

回答No.2

ORUKA1951

ビリヤード、あるいは三面鏡の問題と同じですね。
要は、２回反射して最短経路を求めれば良いのですから・・・
AB、およびBC線対象でP'を得て、それとつなぐと遠回りになる。・・・赤線
AB,BCを鏡として考えると二回反射した先の P" への最短距離--直線を考えなければならない。
・・・緑線

回答No.1

spring135

ABを対称軸としてPを対象移動した点をP',BCを対称軸としてPを対象移動した点をP'',直線P'P''とABの交点をQ,直線P'P''とBCの交点をRとする。

理由：AB上においてQ以外の点Q'をとるとP'Q'+Q'R＞P'R、よってQが最小点を与える。Rについても同様。