角の２等分線の証明

質問

（問題）
「⊿ABCの辺BCをAB：BCに内分する点をPとする時、APは、∠Aの２等分線になっていることを証明せよ」
解説に書いてあることは理解できますが、この問題で、AC＝ADかつAP//DCとなる点Dを最初から取ることは可能でしょうか？

回答No.4

bran111 · ベストアンサー

#1です。Dの取り方は抜群ですね。

AD=AC、従って⊿ACDは２等辺三角形になり

BA/AD=BA/AC＝BP/CP

ゆえにAP//CD、ゆえに

∠BAP=∠ADC=∠ACD（⊿ACDは２等辺三角形だから）

＝∠CAP（AP//CDだから）

ゆえにAPは∠BACを２等分する。

＞AC＝ADかつAP//DCとなる点Dを最初から取ることは可能でしょうか？

誤解です。BA上にAD=ACなる点Dを取ればAP//CDになるということです。

AD=ACだけは条件で。それは常に可能です。

お礼

ご回答どうも有難うございました。
よく理解できました。

回答No.3

sutekinayume

「解答の図を見ると　確かに比が等しいことはわかるが、
自分で図をかこうとすると、
点P→点Dの順番になってしまい、
証明が正しい気がしない（または図がうまくかけない）」
という質問と理解しましたが　正しいでしょうか？

とても良い指摘です！
点P→点Dの順でかいたときには、
証明として正しくありませんし、図も実は歪んでいます。

「線分BAを延長して、AC＝ADとなるように　点Dを取ってから、
AP//DCとなるように　点Pを取る」のが　正しい作図です。

何か気づきませんか？

そう、証明の通りの作図順序なのです。
黒板や動画の説明では図が動きますが、解答の図ではそうはいきません。
実際に作業を伴うのが作図で、作図している順に書くのが証明なのです。

図形の証明では、どの線からかいているのかが　わかりにくいですが、
それが証明の根幹であり　それを身に着けるために　作図を先に勉強するのです。

解答には　あまり多くの図をかけないので
完成図だけのことも　たくさんあります。
「最初の時点では　ない線がどれか」を把握すれば、
証明は　どんどんわかるようになります。
（かき加えるばかりでなく、かいてある線をないものと思って
　図をみる力は非常に重要です）

図形が得意になるための　大切なポイントがおさえられています。
引き続き頑張ってください！！

お礼

ご回答、どうも有難うございました。
頑張って勉強します。

回答No.2

noname#222520

AC＝ADということは、点Cと点Dは点Aを中心とする半径ACの円の周上にあることになります。
点Cを通り線分APに平行な直線とこの円周の交点をDとすれば、AC＝ADかつAP//DCとなる点Dを最初から取ることは可能です。
意味はこれでいいのでしょうか？

お礼

ご回答、どうも有難うございました。

補足

証明では、
「辺BAの延長線上にDを、AC=ADとなるように取る。
BP:PC＝AB:ACの時、BP:PC＝BA:ADから、AP//DC」
と言うように、平行線と線分の比の性質の逆を使って証明していますが、
どちらの方法でも正しいのでしょうか？

回答No.1

bran111

>「⊿ABCの辺BCをAB：BCに内分する

「AB：ACに内分」の間違いですか。

＞AC＝ADかつAP//DC

Dがどこのあるの不明なので解析不可。たとえばAB上にあるとするとAP//DC？

図を補うなりして、人がわかるように説明してください。

補足

申し訳ありません。
ご指摘の通り、AB：ACに内分で、Dは、BAの延長線上に取る場合です。