微分方程式３

質問

x"-4x ＝　te^-2t　の解き方を教えてください。
特に特殊解の「定数変化法」のやり方を教えてください。
x" はｘの２階微分

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

定数変化法ですね？

まず x"-4x=0 の一般解は

　x=Ae^{2t}+Be^{-2t}

なので、A, B を t の関数として、x"-4x ＝　te^{-2t}に代入して整理すると

(A''(t)+4A'(t))*e{2t}+(B''(t)-4B'(t))e{-2t}=te^{-2t}

になります。これから

　A''(t)+4A'(t)=0
　B''(t)-4B'(t)=t

が出てくるので、これを解くと、

　A(t)=C1*e^{-4t} + C2
　B(t)=C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4

となるので、答えは

x(t)=(C1*e^{-4t} + C2)e^{2t}+(C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4)e^{-2t}
= D1*e^{2t} -(8x^2+4x+1)*e^{-2t}/64+D2e^{-2t}

です。(C1,C2,C3,C4,D1,D2 は定数です。)

もっとすんなり解けるかも知れませんが。。。

ざっと解いただけなので検算して下さい。

お礼

回答どうもありがとうございました。
だいたいの流れがわかりました。
で、１ヶ所質問なんですが、

A''(t)+4A'(t)=0
B''(t)-4B'(t)=t 　から、

A(t)=C1*e^{-4t} + C2
B(t)=C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4

の求め方が分からないんで、おねがいします。

回答No.2

keyguy

非定数係数２階微分方程式に拡張しましょう。

ｐをｘの関数としｑをｘの関数としｒをｘの関数とする。
ｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝ｒをみたすｙを示す。
ｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝０の一般解をα，βを定数としてαｆ＋βｇとする。
fとgはｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝０の解だから
ｆ”＋ｐｆ’＋ｑｆ＝０・・・（１）
ｇ”＋ｐｇ’＋ｑｇ＝０・・・（２）
である。
ａ’ｆ＋ｂ’ｇ＝０・・・（３）
ａ’ｆ’＋ｂ’ｇ’＝ｒ・・・（４）
を満たすｘの関数ａとｘの関数ｂすなわち
ａ’＝－ｒｇ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ）
ｂ’＝ｒｆ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ）
であるａとｂについて
ｚ＝ａｆ＋ｂｇはｚ”＋ｐｚ’＋ｑｚ＝ｒを満たす。

根拠：
（３）と（４）により
ｚ＝ａｆ＋ｂｇを微分して
ｚ’＝ａｆ’＋ｂｇ’が得られｚ’を微分して
ｚ”＝ａｆ”＋ｂｇ”＋ｒが得られる。
これと（１）と（２）により
ｚ”＋ｐｚ’＋ｑｚ＝ｒが分かる。

なお
ａ（ｘ）＝∫（０～ｘ）ａ’（ｔ）ｄｔ
ｂ（ｘ）＝∫（０～ｘ）ｂ’（ｔ）ｄｔ
でａとｂを求めればよい。

お礼

回答どうもありがとうございました。