不等式の問題です。

質問

不等式の問題です。
x^2-2x-2<0…(1)
|x-2|<1…(2)
x^2+(a+1)x+a≧0…(3)
(1)~(3)をすべて満たす実数xが存在しないようなaの値の範囲を求めなさい。
(1)を満たす範囲が1-√3<x<1+√3
(2)を満たす範囲が2<x<3,1<x<3
(3)を満たす範囲がわかりません。
すべてを満たす範囲を求めてからそれを除いてから考えようと思ったのですが、それでは違いますか？
ご回答お願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞(1)を満たす範囲が1-√3<x<1+√3
　OKです。

＞(2)を満たす範囲が2<x<3,1<x<3
　これは　１＜ｘ＜３　となります。

＞(3)を満たす範囲がわかりません。
　＃１さんが示された因数分解とａの場合分けを使って導きます。

　（ｘ＋ａ)(ｘ＋１)≧０

Ａ）ａ＞１のとき　ｘ≦－ａ，－１≦ｘ
Ｂ）ａ＝１のとき　ｘは実数全体
Ｃ）ａ＜１のとき　ｘ≦－１，－ａ≦ｘ

　さて、ここで３つの不等式の内（１）と（２）を同時に満たす実数ｘの範囲を考えますと、

　　１＜ｘ＜１＋√３　　・・・・☆

になります。
　そのため、問題のように（１）～（３）を同時に満たす実数ｘが存在しないようにするためには、条件☆と条件Ａ）～Ｃ）を満たす実数ｘが存在しないように　ａ　を選ぶことになります。

Ａ）ａ＞１のとき、　範囲：－１≦ｘで　条件☆　と重なり、実数ｘが存在し、題意を満たしません。

Ｂ）ａ＝１のとき　条件☆　と実数全体は重なり、実数ｘが存在し、題意を満たしません。

Ｃ）ａ＜１のとき　条件☆　と「ｘ≦－１，－ａ≦ｘ」が重ならないようにするためには、「ｘ≦－１」の重なり部分はありませんので、「－ａ≦ｘ」が重ならないようにして

　　－ａ≧１＋√３
　∴ａ≦－１－√３

としなければなりません。

　ここで、この条件：ａ≦－１－√３　はＣ）ａ＜１　を満たしていますので、矛盾はありません。

　以上のことから、求めるａの範囲は次のようになります。

　（答え）　ａ≦－１－√３

＞すべてを満たす範囲を求めてからそれを除いてから考えようと思ったのですが、それでは違いますか？

　この問題では、すべてを満たさないようにａの範囲を決める方が良いと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。よく理解できました^^

回答No.3

info22

(1) OK
(2) ×　
正解：1<x<3
(3)　
(1),(2)を同時に満たすxの範囲は
1<x<1+√3
このxの範囲で　f(x)=x^2+(a+1)x+a=(x+1)(x+a)＜0
であることが必要十分条件。
　x+1>0なので　x-a＜0 ∴x＜a
これから求める条件は
f(1)=2(1+a)≦0　かつ　f(1+√3)=(2+√3)(a+1+√3)≦0
これを解いて
∴a≦-(1+√3)

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

proto

＞すべてを満たす範囲を求めてからそれを除いてから考えようと思ったのですが、それでは違いますか？
その方針で良いと思います。

＞(3)を満たす範囲がわかりません。
結局はx^2+(a+1)x+aの因数分解が出来ないということですよね。
　　a = 1*a
ですから、たすきがけの公式を思い出して
　　x^2+(a+1)x+a = (x+a)(x+1)
と因数分解出来ます。
aが1より小さい場合と、a=1の場合と、aが1より大きい場合に場合分けすれば、二次不等式を解くことが出来るでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。