微分方程式の解き方について

質問

d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 3y = 3x^2 + 2x
初期値：x=0のときy=1,dy/dx=1

の解き方がよくわかりません。解き方が分かる方、どうか助けて下さい！

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度に

d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 3y = 3x^2 + 2x
初期値：x=0のときy=1,dy/dx=1

(r+3)(r+1)y=0, r=-3, -1
y=C1*e＾-x + C2*e＾-3x

特別解は
(D＾2+4D+3)y=3x^2 + 2x
y=(3x^2 + 2x)/(3+4D+D＾2)
=(3x^2 + 2x)/3*{(1+((4D+D＾2)/3)}
ここで、1/{(1+((4D+D＾2)/3)}　を展開すると、
={(3x^2 + 2x)/3}{1-(4D+D＾2)/3+(4D+D＾2)＾2/9-・・｝
D は微分子だから、x のべきを考慮するとD＾2 まで
考えればよいので、整理すると
={(3x^2 + 2x)/3}{1-(4D+D＾2)/3+(16D＾2)/9｝
={(3x^2 + 2x)/3}{1-(4D/3) + (13D＾2/9)｝
={(3x^2 + 2x)/3}-(4/9)(6x+2)+(13/27)*(6)
=x^2 + (2x/3) -(8x/3)-8/9+(78/27)
=x^2 - 2x + 2

ということで一般解は
y=C1*e＾-x + C2*e＾-3x +x^2 - 2x + 2
という感じですかね。
これに初期値を入れれば、C1,C2がでますね。

註: 1/(1+x)=1-x+x＾2-x＾3+・・・・
を利用してます。

お礼

とても丁寧に解説していただいてありがとうございます。右辺に式があるときはこういう風に解くんだということがよくわかりました。本当にありがとうございました！

回答No.1

keyguy

Ｄ＝ｄ／ｄｔ＆ｆ（ｘ）＝３・ｘ＾２＋２・ｘと書くと
問題は
（Ｄ＾２＋４・Ｄ＋３）・ｙ＝ｆ（ｘ）
すなわち
（Ｄ＋３）・（Ｄ＋１）・ｙ＝ｆ（ｘ）
とかける。
任意の関数ｇ（ｘ）と任意の複素数αに対して
（Ｄ＋α）・ｇ（ｘ）≡ｅｘｐ（－α・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（α・ｘ）・ｇ（ｘ）
なので
問題は
ｅｘｐ（－３・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（２・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（ｘ）・ｙ＝ｆ（ｘ）
とかける。
あとは皮をむくように割って積分して割って積分して割ればよい。

お礼

解答ありがとうございます！途中から私の見た参考書と違っていたのでとても勉強になりました☆いろいろな解き方があるんですね。参考にさせていただきます！