ベクトルの問題(再質問)

質問

省略して質問したため、非常に分かりにくくなってしまったので新しく書き直します。再度よろしくお願いいたします。

鋭角の∠Aを持つ三角形ABCがある(ほぼせい3角形)。Aから底辺までの垂直な距離を1とする。AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。AD,DE上にそれぞれ点S,Rをとる。ここで→AS=→y,
→SR=→zとする。(このとき→AR=→y+→zですよね。)
さらに、→y=t*→AB,→z=s*→ACより、→AR=(t*→AB)+(s*→AC)がいえる。このときt+s=1/2

t+s=1/2の理由を教えてください。勿論、中点なので垂直な距離が1/2になることは分かります。係数の和=1/2になる理由が分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

#3 です。

>AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。
以前の質問の後遺症で「AB,BCの中点をそれぞれD,Eとする」と思い込んでました。結論をミスしてましたので、一応の訂正。

<AR> は <AD> と <AE> の(一次)凸結合になっているから、
　　<AR> = k*<AD> + (1-k)*<AE>
また前提から、
　　<AD> = (1/2)*<AB>
　　<AE> = (1/2)*<AC>
なので上式へ代入してみると、
　　<AR> = (k/2)*<AB> + {(1-k)/2}*<AC>

回答No.3

noname#101087

>鋭角の∠Aを持つ三角形ABCがある(ほぼせい3角形)。Aから底辺までの垂直な距離を1とする。AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。
>AD,DE上にそれぞれ点S,Rをとる。ここで→AS=→y, →SR=→zとする。(このとき→AR=→y+→zですよね。)
>さらに、→y=t*→AB,→z=s*→ACより、→AR=(t*→AB)+(s*→AC)がいえる。このときt+s=1/2

題意にいくつか疑問があります。(ベクトルは、<AB> などと表記)
・「Aから底辺までの垂直な距離を1とする」は不要らしいです。
・「<y>=t*<AB>」はいいのですが、「<z>=s*<AC>」が成立つとは限りません。
・「<AR> = t*<AB> + s*<AC>」は良さそうなので、導出してみましょう。

<AR> は <AD> と <AE> の(一次)凸結合になっているから、
　　<AR> = k*<AD> + (1-k)*<AE>
また前提から、
　　<AD> = (1/2)*<AB>
　　<AE> = (1/2)*<AB> + (1/2)*<AC>
なので上式へ代入してみると、
　　<AR> = (1/2)*<AB> + {(1-k)/2}*<AC>
(試算// k=0 ならば <AR> = <AE> / k=1 ならば <AR> = <AD> )

これじゃ t+s=1-(k/2) になってしまい、問題の結論「t+s=1/2」と不一致。(k=1 の場合だけ一致)

回答No.2

kumipapa

まだ問題でおかしいところがあるように思いますが、まあ、よしにします。
ＤＥ上の点Ｒについて、とにかく
→ＡＲ　＝　ｔ * →ＡＢ　＋　s * →ＡＣ　　・・・（１）
とかけるようなｔとｓがある、というところまではいいんですね。

では、→ＡＲを別の表し方をしてみましょう。
点Ｒは、ＤＥ上にありますから、
→ＡＲ ＝ (１－ｕ）* →ＡＤ ＋　ｕ* →ＡＥ　　　・・・（２）
とかけますね。０＜ｕ＜１で、点Ｒが、ＤＥをｕ：（１－ｕ）に内分しているってことです。
次に、点Ｄと点Ｅは辺ＡＢ，ＡＣの中点ですから、→ＡＤ＝ 1/2 * →ＡＢ、→ＡＥ＝ 1/2 * →ＡＣですね。
これを（２）に入れると、
→ＡＲ ＝ (１－ｕ)/2 * →ＡＢ ＋　ｕ/2 * →ＡＣ　・・・（３）
です。
で、この（３）を問題の式（１）と比べてみましょう。
（１）と（３）の左辺の→ＡＲは同じベクトルですから、（１）と（３）の右辺どうしも等しいはず。
ということで、
ｔ * →ＡＢ　＋　s * →ＡＣ　＝ (１－ｕ)/2 * →ＡＢ ＋　ｕ/2 * →ＡＣ
です。
あとは、係数どうしを比べて
ｔ＝（１－u）/2
ｓ＝u/2
ですから、
ｔ＋ｓ＝（１－ｕ）/2 + u/2　＝ 1/2
です。
これで理解して頂けますか？

回答No.1

10ken16

ＲがＤＥ上の点ですから、
ＡＲ＝jＡＤ＋iＡＥ（i+j=1）
とおけることは分かりますか？

　i=m/(m+n)、j=n(m+n)とおけば
　分点の公式そのままです

ここで、
ＡＲ＝tＡＢ＋sＡＣとおけば、
ＡＤ＝1/2 ＡＢであることから、
s=i/2、t=j/2
s+t＝(i+j)/2

従って、s+t＝1/2

補足

たぶん理解できたと思われます。本当にありがとうございました。