∠の3等分の問題

質問

⊿ＡＢＣにおいて、∠Ａの3等分線と線分ＢＣとの交点ウィそれぞれＤ，Ｅとする。ＢＤ＝３、ＤＥ＝１，ＥＣ＝２であるとき問いに答え。

１、Ｅから辺ＡＤに下した垂線の足をＦ，Ｅから辺ＡＣに下した垂線の足をＧとするとき、ＡＦ：ＦＤおよびＡＧ：ＧＣを求めよ

２、∠ＢＡＣの大きさを、理由をつけて答えよ

３、⊿ＡＢＣの面積を求

教えてください。

回答No.1

c_850871 · ベストアンサー

質問者さんの学年がわからないので，とりあえず高校生という前提でお答えします．
1．2.だけお答えしますね．後は簡単なので．

3等分された一つの角度をθとしますと，△ABEと△AECの面積関係から
BE:EC=(1/2)AB・AEsin2θ:(1/2)AC・AEsinθ
⇔BE:EC=AB(2sinθcosθ):ACsinθ
⇔BE:EC=2ABcosθ:AC
⇔4:2=2ABcosθ:AC

⇔AC=ABcosθ

AB=3k
とおくと

AC=3kcosθ…(1)

【角の二等分線の定理】から
AB:AE=BD:DE=3:1
なので
AE=k…(2)

ここで【△AFEと△AGEは合同】です．
∠FAE=∠GAE
∠AFE=∠AGE=90°
AE共通
で直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいことから示せます．
よって
AF=AG…(3)

さらに
AD:AC=DE:EC=1:2
なので
AD=AC/2…(4)

(1)を(4)に代入すると
AD=(3/2)kcosθ…(5)

直角三角形AFEにおいて
AF=AEcosθ

=kcosθ…(6)

(5)(6)より

AD:AF=(3/2)kcosθ:kcosθ
=3:2

つまり

AF:FD=2:1

AG:AC
=kcosθ:3kcosθ ←(3)(6)より

=1:3

なので

AG:GC=1:2

2．
1．の結果から

GC=2AG=2kcosθ
FD=(1/2)kcosθ

ここで直角三角形FDEにおける三平方の定理から
DE^2=FD^2 +FE^2
⇔1^2={(1/2)kcosθ}^2 + (ksinθ)^2…(7)

直角三角形GECにおける三平方の定理から
EC^2=GC^2 +GE^2
⇔2^2=(2kcosθ)^2 + (ksinθ)^2…(8)

(8)-(7)より
(15/4)(kcosθ)^2=3
これより
kcosθ=2√5/5…(9)

これを改めて(7)に代入すると
FE^2=1 - 1/5=4/5

よって
FE=2√5/5…(10)

(6)(9)(10)より
AF=FE
なので【△AFEは直角二等辺三角形だとわかります】．

ここまで出せばもう出来ますよね．
後は頑張ってみてください．

お礼

中三なのでわかりませんがありがとうございました。