中学生のこの問題の解きかたお教えください。

質問

ＡＢ＝3ｃｍ、ＢＣ＝4ｃｍ、ＣＡが2ｃｍの△ＡＢＣと＜ＢＡＣの二等分線ｌがある。点Ｂ，Ｃから直線ｌに垂線をひき、それぞれの交点をＤ，Ｅとする。また直線ｌがＢＣおよび△ＡＢＣの外接円と交わる点をそれぞれＦ，Ｇとする。
ＡＦの長さを求めなさい。

答えは３√６÷５です。

子供に教えたいのでよろしくお願いいたします。

回答No.3

upsilon4s · ベストアンサー

△ＡＢＤ：△ＡＣＥ＝３：２よりＡＤ：ＡＥ＝３：２
△ＢＤＦ：△ＣＥＦ＝３：２よりＤＦ：ＥＦ＝３：２

したがって、

Ａ　　　　　　　　　Ｅ　Ｆ　　Ｄ　　　　　　　　　　　　←等角フォントで見てください
┗┴┴┴┴┴┴┴┴┴┻┴┻┴┴┛
のようになっているので、ＡＥ：ＥＦ＝５：１。
ここで、ＡＦ＝ｘとすると
　ＡＥ＝５ｘ/６
　ＥＦ＝ｘ/６
最後に、△ＡＣＥと△ＣＥＦで三平方の定理を考えると、
　ＣＥ^2 ＝ＡＣ^2 －ＡＥ^2
　ＣＥ^2 ＝ＣＦ^2 －ＥＦ^2
よって、
　ＡＣ^2 －ＡＥ^2 ＝ＣＦ^2 －ＥＦ^2
⇔ 2^2 - (5x/6)^2 = (4*2/5)^2 - (x/6)^2
これを計算すると、
　ｘ＝３√６/５
となります。

ここで、ＣＦ＝4*2/5　は
△ＢＤＦ：△ＣＥＦ＝３：２よりＢＦ：ＦＣ＝３：２
から求めています。

中学生の数学から離れてずいぶん経つので、
このような解き方でいいのか不安ですが、どうでしょう。

お礼

お見事です。ぱちぱちぱち。
最後は三平方の定理を絡ますのだろうなとは思ったのですが、そこまで導くことができませんでした。ありがとうございました。公立高の入試問題にすれば難しくないですか？

回答No.4

kyotomouse

＞upsilon4sさん
おお！すばらしい。
比を線分図で取るわけですね。
なるほど。
・・・中学１年の我が子にバカにされそうです。
秘密にしておこう。

回答No.2

hiropi-

角BACの二等分線によってAB:AC=BF:CF=３：２なので
BCが４センチならば、比の計算でBF=１２/５　CF=８/５ですよね？
そこまでは出しましたが、計算が合いません（TT)

お礼

考えて下さってありがとうございました。私もそこまでは考えたのですが…。

回答No.1

kyotomouse

問題文は本当にこれですべてですか？
このままでは点Ｄ、Ｅ、Ｇが指定される意味がさっぱりわかりません。
できれば問題文全文の正確な掲載をお願いします。

補足

問題文は図がついてこの通りです。
　ただ、ＢＤとＣＥの長さの比を求めたりＢＦの長さを求めたり△ＡＢＧと△ＡＦＣが相似である事を証明する問もついていましたがこれらは解けましたので分からない部分だけをお伺いしました。
　実はこの問題は、今年の兵庫県の高校受験問題でした。よろしくお願いいたします。