複素数の問題で…

質問

[(7+3i)/(2+5i)]^6=a+biの実数a,bを求めよのとき方と答え教えてください！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

[(7+3i)/(2+5i)]^6
=[(7+3i)(2-5i)/(2^2+5^2)]^6
=[{(14+15)+i(6-35)}/(4+25)]^6
=[(29-i29)/29]^6
=[(1-i)]^6
極座標に直して
=[√2 e^(-iπ/4)]^6
=(2^3)e^(-i6π/4)
=8e^(-i3π/2)
=0+8i

∴ a=0, b=8

回答No.1

noname#154783

6乗を計算する前に，先に[]の中だけ計算してしまいましょう．

(7+3i)/(2+5i)
= {(7+3i)(2-5i)}/{(2+5i)(2-5i)}
= (29-29i)/29
= 1-i
= √2 {cos(-π/4) + i sin(-π/4)}.

それから6乗を計算します（ド・モワブルの定理を使います）．

[(7+3i)/(2+5i)]^6
= (√2)^6 {cos(-π/4) + i sin(-π/4)}^6
= 8 {cos(-3π/2) + i sin(-3π/2)}
= 8i.