数学Ｂです;

質問

同じ平面上にない4点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃに対して，次の等式を満たす点Ｐは，どのような平面上にあるか。ただし，r,s,tは実数とする。

↑ＯＰ
＝↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ，r＋s＋t＝1

何から求めればいいのか
困ってます。

誰かわかる方は教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

「↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ」は「r↑ＯＡ＋s↑ＯＢ＋t↑ＯＣ」ですよね。

求める、というより、

↑ＯＰ = r↑ＯＡ＋s↑ＯＢ＋t↑ＯＣ で、r,s,t に条件がついてなければ、Pは空間内のあらゆる点を表すことができ、
r + s + t = 1 ならば、PはΔABCを含む平面上のすべての点を表すことができ、
さらに、r,s,t が0以上１以下という条件を加えると、Pは、ΔABC(内部と周)上のすべての点を表すことができる。

というのは、全部ではなく、この形でまとまってでないかもしれませんが、教科書のどこか(本文だけでなく、例題の解法や練習問題にも注目)に書いてありませんでしたか？

平面上で、同じ直線上にない３点O,A,B,Cに対して、
↑ＯＰ = r↑ＯＡ＋s↑ＯＢ を満たす点Pは、平面全体を、r+s = 1という条件がつけば、直線AB上を、さらに、r,sが0以上1以下ならば、線分AB上を動くことができる、
というのに、対応した空間ベクトルの性質で、こうやって並べれば、理解するのも、覚えるのも、難しくはないと思います。

空間ベクトルの問題で悩んだら、平面で似た話なかったっけ、と、考えるのが、コツです。

お礼

なるほど…

ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

＞ 何から求めればいいのか

その式を、
↑ＯＰ = ↑ＯＡ + s(↑ＯＢ - ↑ＯＡ) + t(↑ＯＣ - ↑ＯＡ)
と変形するところから始めればよいと思います。

r を消去する替わりに、s か t を消去してもかまいません。

変形した式の２変数の値をイロイロ動かしてみると、
何が解りますか？

回答No.3

R_Earl

> 何から求めればいいのか
> 困ってます。

求める問題というよりは、知識を問われている問題だと思います。
この話自体は教科書にも載っているはずです。
↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ，r + s + t = 1を満たすのは「三点A, B, Cを通る平面」です。

「三点A, B, Cを通る平面を、ベクトルOA, OB, OCを用いて表すとどうなるか？」
という事を考えていくと、最終的に
「三点A, B, Cを通る平面は↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ，r + s + t = 1で表わされる」
という結論が得られます。

でも逆に
「↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ，r + s + t = 1という式が何を表しているか？」
という事を考えて
「↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ，r + s + t = 1は三点A, B, Cを通る平面を表す」
という結論を得るのは難しいと思います。

なので今回の問題に関しては
「三点A, B, Cを通る平面は↑rＯＡ＋↑sＯＢ＋↑tＯＣ，r + s + t = 1で表わされる」
という事を知らないと答えられない問題だと思います。

お礼

なるほど…

ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
ある程度、予想がつかないと難しいのかもしれませんね。

条件式は、点Oを基準として与えられていますね。
そこをたとえば点Aを基準としてみたら・・・と考えたりしてみます。

あと、平面上の点は「その平面上にある」1次独立な 2つのベクトルによって定められます。
このことを点Aを基準にして表してみることを考えます。

ちなみに、平面は 3点が与えられれば定めることができますね。

お礼

こんばんは。

なるほど…
ありがとうございます。