数学で質問です

質問

X, Y,Z 空間で、Ｏ（０，０，０）
　　　　　　　　　　Ａ（３，０，０）
　　　　　　　　　　Ｂ（３，２，０）
　　　　　　　　　　Ｃ（０，２，０）
　　　　　　　　　　Ｄ（０，０，４）
　　　　　　　　　　Ｅ（３，０，４）
　　　　　　　　　　Ｆ（３，２，４）
　　　　　　　　　　Ｇ（０，２，４）を頂点とする
　　　　　　　　　　直方体ＯＡＢＣーＤＥＦＧを考える。　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辺ＡＥをｓ：１－ｓに内分する点をＰ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辺ＣＧをｔ：　１－ｔに内分する点をＱ　　とおく。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、０<ｓ<１、０<ｔ<１とする。

　　　　　　　　　Ｄを通り、Ｏ、Ｐ、Ｑを含む平面に垂直な直線が、線分ＡＣ（両端を含む）と交わるようなｓ、ｔ　の満たす条件を求めよ。

Ｄを通り、Ｏ、Ｐ、Ｑを含む平面に垂直な直線をしめす方法がわかりません。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#3です。

問題について
>０<ｓ<１、０<ｔ<１とする。
>線分ＡＣ（両端を含む）
は矛盾します。

０<ｓ<１、０<ｔ<１とするなら、ＡＣ（両端をのぞく）
または
０≦ｓ≦１、０≦ｔ≦1とすれば、ＡＣ（両端を含む）

のどちらかにする必要があります。

それによりs,tの範囲の不等号に、等号を付けるか、付けないか
の影響が出ます。下の(◆)と(●)参照。

A#3の補足
問題の修正に合わせてs,t,p,kの範囲の不等号を修正して下さい。

s,tの関係式をA#3で導きましたが

>-16s-9p+9=0,4p-16t=0
>16s+36t=9　...(☆)

(☆)の式のs,tにはs,t,pの取りうる範囲から
与えられた範囲より範囲が狭まります。

上の式にs,t,pのとりうる範囲から
0≦s≦9/16, 0≦t≦1/4 ,,,(◆)
または
0＜s＜9/16, 0＜t＜1/4 ...(●)

(☆)の式のs,tの取りうるとい範囲の条件が付きます。

回答No.5

alice_44

その平面上の点を X と書くと、
(→OP × →OQ)・(→OX - →OD) = 0 です。
× は外積、・ は内積を表しています。

回答No.3

info22_

>Ｄを通り、Ｏ、Ｐ、Ｑを含む平面に垂直な直線をしめす方法がわかりません。

ACをp:(1-p)に内分する点(ただし、0<p<1)をR、Dから平面APQに下ろした垂線の足をHとする
と

問題の条件から

>Ｄを通り、Ｏ、Ｐ、Ｑを含む平面に垂直な直線をしめす方法
↑DHとおくと
　↑DHと平面OPQが垂直な条件：↑DH・↑OP=0,↑DH・↑OQ=0 ...(★)
ここで
　↑OP=↑OA+↑AP=↑OA+s↑AE=↑OA+s↑OD
　↑OQ=↑OC+↑CQ=↑OC+t↑CG=↑OC+t↑OD

直線DHが線分ACと交わる条件：↑DH//↑DR ⇒ ↑DH=k↑DR　
　(HはDH:HR=k:(1-k)の比に内分する点、0<k<1)
ここで
　↑DR=↑DA+↑AR=↑DA+p↑AC=↑OA-↑OD+p(↑OC-↑OA)

これらの関係式を整理すれば　s,tの満たすべき条件が求められます。

つまり、(★)の式に他の式を代入して
　↑OA・↑OC=0,↑OA・↑OD=0,↑OC・↑OD=0
　↑OA・↑OA=3^2=9,↑OC・↑OC=2^2=4, ↑OD・↑OD=4^2=16
の関係を使えば
　-16s-9p+9=0,4p-16t=0
が得られるので、２つの式からpを消去すれば
　16s+36t=9
という条件式が得られます。

回答No.2

151A48

P(3,0,4s), Q(0,2,4t)
ベクトルＯＰ，ＯＱに垂直なベクトルが平面ＯＰＱに垂直。これを（ｘ，ｙ，ｚ）とすると
3xK4sz=0, 2y+4tz=0
x=-4sz/3 , y=-2tz
(-4sz/3, -2tz, z)　とでるが，zは約し，-3倍して　(4s, 6t, -3)　としておきます。
もとめる直線上の任意の点をＸとするとkを任意の実数として
ベクトルＯＸ＝ベクトルＯＤ＋k(4s, 6t, -3)=(4ks, 6kt, 4-3k)
これが線分ＡＣ上にある条件を調べればよい。

回答No.1

entap

平面に垂直な直線、ということは、平面の法線ですね。
平面をα：ax+by+cz+d=0 とおく時に、
法線はn(a,b,c)となります。
この法線がDを通るようにしてみましょう。