倍数証明

質問

ｆ(x)=x^3-ｘとする。
(1)ｘが自然数のとき、ｆ(x)が6の倍数
(2)xが1より大きい奇数のとき、ｆ(x)が24の倍数

この問題についてお聞きしたいです。
(1)ｘが自然数→ｘをなににおけばいいのかわかりません。
(2)1より大きい奇数を2x+3とおいて、与式を計算すると、
　24{(3/4)x^3+(3/2)x^2+(13/6)x+1}となりましたが、その後どのよう　にすればよいのかわかりません。
基本的なことかと思いますが、よろしかったら教えていただけないでしょうか。

回答No.2

abyss-sym · ベストアンサー

(1)因数分解しましょう。
f(x)=(x-1)x(x+1) となります。
これをよく見ると、３つの連続する自然数の積になっています。
このことを使って考えてみてください。

(2)x=2n+1(n=1,2,3…)とします。
f(2n+1)=(2n)(2n+1)(2n+2)=4n(n+1)(2n+1)=4n(n+1){(n-1)+(n+2)}
=4(n-1)n(n+1)+4n(n+1)(n+2)
この形になったら、(1)を使います。
(n-1)n(n+1)とn(n+1)(n+2)は６の倍数だから、４×６の倍数のかたちになっています。よって24の倍数になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
おかげさまで理解できました！

回答No.6

noname#59932

（１）ｘが自然数
正の整数（１，２，３・・・などなど。小数点や、負の数はダメ）を入れると、その答えがすべて６の倍数になります。
試しに２を入れると、２×２×２－２となります。答えは６の倍数になるかと思います。以後、３，４，５・・・どれを入れても６の倍数ですね。

（２）ｘが1より大きい奇数
「１より大きい奇数」ですので、１，３，５，７，９，１１・・・・
をｘに入れると、その答えがすべて２４の倍数になります。
試しに３を入れると、３×３×３－３となります。答えは２４の倍数となるかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
実際に数を代入して計算すると成り立つのはわかるのですが、
それをどのように証明したらいいのかわからなかったもので。
わかりにくい質問文ですみませんでした。

回答No.5

DONTARON

ＡＮＯ３で回答しましたが(2)は少し間違いがあって４の倍数のところは両方とも偶数なのでの間違いです。

回答No.4

Meowth

ｆ(x)=x^3-ｘ
因数分解すると
f(x)=(x-1)x(x+1)
となりｘが自然数で
x＝1のとき０　
ｘ≧2のとき連続する3つの自然数
となる。
したがって、どれか１つは３の倍数で
少なくともどれか１つは偶数（２の倍数）
したがって、f(x)は６の倍数
xが奇数のｔとき
x-1　とｘ＋１はともに偶数かつ
どちらかは４の倍数
したがって、
(x－1)(x＋1)は８の倍数となる。
どれか１つは３の倍数だから、
全体では24の倍数となる。

連続

お礼

ご回答ありがとうございます。
詳しい説明助かりました、また機会があったら
よろしくお願いします。

回答No.3

DONTARON

（1）展開するとｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ＋１）となるので
つまりｆ(ｘ）は３つの連続した数字を掛け合わせた値になるので必ず２の倍数と３の倍数が含まれることになることから
（２）すでに（１）からｆ(ｘ）の値は３の倍数でありまた
ｘが奇数の場合は(ｘ－１)と(ｘ＋１)のどちらかが４の倍数になり
もう一方も２の倍数になるので掛け合わせると24の倍数になる
　このような証明だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
わかりやすい回答でした。

回答No.1

noname#47894

>(1)ｘが自然数→ｘをなににおけばいいのかわかりません。
何かにおく必要はありません。
因数分解して、連続する３自然数の積であることを示してください。
連続する３自然数は、2の倍数、3の倍数を必ず含むはずですね。
よく考えてください。ただし、x=1のときだけ、ｆ(x)＝０となるので、注意してください。

>(2)1より大きい奇数を2x+3とおいて、与式を計算すると、
こういうときは、因数分解した式に代入すると計算が楽です。
また、2k+1（k≧1）でもいいと思いますが。
(１)より、奇数のときでも、f(x)は６の倍数であると言えているので、ｆ（ｘ）が８の倍数でもあることを示せば、ｆ（ｘ）は６と８の公倍数である２４の倍数といえます。
xが奇数のとき、ｘは８の倍数ではありえません。その前後の数をかけて８の倍数になる事を示してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに1より大きい奇数は2k+1（k≧1）ですね。
勘違いしていました。