エルデスシュトラウスの予測が証明できました。

2011/02/22 00:48

このQ&Aのポイント

エルデス・シュトラウスはＮを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在すると予想しました。
具体的な例を挙げると、Ｎが偶数の場合と奇数の場合でそれぞれ式を導き出すことができます。
また、Ｎが4の倍数－1の場合と4の倍数－3の場合でも式を導くことができます。

エルデスシュトラウスの予測が証明出来ました。2

前回の投稿版は、最後が不完全でしたので、再考して投稿させてもらいます。Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。 (1)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ）と(2)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）と(3)（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）との3つの塊を考えます。(1)は1／Ｎです。(2)は（1／Ｎ+1）です。(3)は（1／Ｎ（Ｎ+1））です。(1)(2)(3)とも全て、分子は1で、分母は自然数です。また、(2)+(3)＝（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）+（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）＝（1／Ｎ）×（Ｎ+1）／（Ｎ+1）＝1／Ｎとなります。故に(1)+(2)+(3)＝2／Ｎとなります。従って、1／Ｎ+（1／Ｎ+1）+（1／Ｎ（Ｎ+1））＝2／Ｎ（2／Ｎ公式その1と呼ぶ）は常に成立します。Ｎが偶数の時、2／Ｎ公式その1にＮの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。例えばＮ＝22の場合、11を使います。（1／11）+（1／（11+1））+（1／（11×（11+1）））＝（1／11）+（1／12）+（1／（11×12））＝（1／11）+（1／12）+（1／122）＝24／122＝4／22となり、求める式が出来ます。Ｎが奇数の時、Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。Ｎ＝3ｎの時、(1)の式にはｎを使います。分母を1／3にする為、(1)の値は3倍になります。(2)+(3)の式にはＮを使いますので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝9の場合、（1／3）+（1／（9+1））+（1／（9×（9+1））＝（1／3）+（1／10）+（1／（9×10）＝（1／3）+（1／10）+（1／90）＝40／90＝4／9となり、求める式が出来ます。Ｎ＝3ｎ+2の時、(2)+(3)の式のＮ+1の値が3ｎ+2+1＝3（ｎ+1）と3の倍数になるので、(2)+(3)の式にＮ+1の替りに、ｎ+1を使います（(3)の分母のＮはそのままです）。分母を1／3にする為、(2)+(3)の値は3倍になります。(1)の式にはＮを使うので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝11のとき、3ｎ+2＝11なので、3ｎ＝9、ｎ＝3を使います。（1／11）+（1／（3+1））+（1／（11×（3+1）））＝（1／11）+（1／4）+（1／44）＝16／44＝4／11となり、求める式が出来ます。次ぎに、Ｎ＝3ｎ+2でＮが奇数の時です。Ｎは4の倍数－1、4の倍数－3の2通りがあります（Ｎ＝4の倍数、Ｎ＝4の倍数－2の時、何れもＮは偶数となります）。Ｎが4の倍数－1の場合、（Ｎ+1＝4ｎの時）(1)式中のＮの代わりに倍数ｎを使います。(2)式+(3)式は、（1／2Ｎｎ）+（1／2Ｎｎ）と変形します。2／Ｎ公式を1／ｎ+（1／2Ｎｎ）+（1／2Ｎｎ）＝2／Ｎ（2／Ｎ公式その2と呼ぶ）とします。例えばＮ＝19の時、19+1＝20＝5×4なので、2／Ｎ公式その2に倍数5を使います。（1／5）+（1／（2×19×5））+（1／（2×19×5））＝（1／5）+（1／190）+（1／190）＝40／190＝4／19となり、求める式が出来ます。Ｎが4の倍数－3（4ｎ－3とする）の場合、2Ｎ+Ｎ+1＝2（4ｎ－3）+（4ｎ－3）+1＝12ｎ－8＝4（3ｎ－2）となり、2Ｎ+Ｎ+1は必ず4の倍数となります。2Ｎ+Ｎ+1を4で割った商である（3ｎ－2）をＰとします。即ち4Ｐ＝2Ｎ+Ｎ+1です。その時、（1／Ｐ）+（1／2Ｐ）+（1／2ＮＰ）＝2／Ｎ（2／Ｎ公式その3と呼ぶ）は常に成立します。Ｐの代わりにＰ／2＝ｐを使います。例えば、Ｎ＝37の時、（37×2+37+1）／4＝112／4＝28＝Ｐです。ですから、ｐ＝14を2／Ｎ公式その3に使います。（1／14）+（1／（2×14））+（1／（2×37×14））＝（1／14）+（1／28）+（1／1,036）＝（1／14）+（1／28）+（1／1,036）＝（74+37+1）／1,036＝112／1,036＝4／37となり、求める式が出来ます。これで、2／Ｎ公式その1・2・3により、全てのＮについて求める式が出来ました。従って、Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在すると言えます。この方

catbird
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数学・算数
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muturajcp
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2011/02/23 04:58 回答No.2

N=25のとき 25=3*8+1=4*7-3 P=(2N+N+1)/4=(2*25+25+1)/4=19 Pは奇数だから P/2=pは整数でないからその方法では、予想を証明できません N=2nのとき 4/(2n)=[1/n]+[1/(n+1)]+[1/{n(n+1)}] N=3nのとき 4/(3n)=[1/n]+[1/(3n+1)]+[1/{3n(3n+1)}] N=3n+2のとき 4/(3n+2)=[1/(3n+2)]+[1/(n+1)]+[1/{(3n+2)(n+1)}] N=4n+3のとき 4/(4n+3)=[1/(n+1)]+[1/{(4n+3)(2n+2)}]+[1/{(4n+3)(2n+2)}] N=12(2n-1)+1=24n-11のとき 4/(24n-11)=[1/(9n-4)]+[1/{2(9n-4)}]+[1/{2(24n-11)(9n-4)}] となって予想は成立しますが、 N=12(2n)+1=24n+1のとき予想が成立するかどうか未解決です。

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390131
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2011/02/25 01:15 回答No.4

補足説明をしておきます。catbirdより。Ｎが4の倍数－3で、ｐが奇数の場合でも、Ｎが素数でなければ、Ｎ＝Ｌ×Ｍとなります。4／Ｎ＝4／（Ｌ×Ｍ）＝（4／Ｌ）×（1／Ｍ）です。4／Ｌを2／Ｎ公式その1と2を使って求め、その分母にＭを掛ければ出来ます。例えば、Ｎ＝49の時、（49×2+49+1）／4＝148／4＝37＝Ｐとなり、2／Ｎ公式その3は使えません。しかし、4／49＝4／（7×7）＝（4／7）×（1／7）です。4／7は2／Ｎ公式その2より、（1／2）+（1／2×7×2）+（1／2×7×2）＝（1／2）+（1／28）+（1／28）＝（14+1+1）／28＝16／28＝4／7です。これに1／7を掛けると、（1／（2×7））+（1／（28×7））+（1／（28×7））＝（1／14）+（1／196）+（1／196）＝（14+1+1）／196＝16／196＝4／49となり、求める式が出来ます。Ｎが素数で、24の倍数+1の場合が残りました。Ｎ＝73・97・193・313・337・・・・です。その場合、Ｎより大きい16の倍数の内、最小の値であるＡを求めます。そして、Ａ／4＝ａとします。Ａが求める（4／Ｎ）の分子で、Ｎ×ａが分母です。例えばＮ＝73の時、Ａ＝80、ａ＝20です。80／（20×73）＝4／73＝（1／73）（73／20）+（1／73）（7／20）＝（1／73）（73／20）+（1／73）（2／20）+（1／73）（5／20）＝（1／20）+（1／730）+（1／292）＝（146+4+10）／2920＝160／2920＝4／73です。同様にして、ｎ＝97の時、Ａ＝112、ａ＝28なので、（1／97）（97／28）+（1／97）（15／28）＝（1／97）（97／28）+（1／97）（1／28）+（1／97）（14／28）＝（1／28）+（1／2716）+（1／194）＝（97+1+14）／2716＝112／2716＝4／97です。Ｎ＝193の時、（1／52）+（1／5018）+（1／772）＝（193+2+13）／10036＝208／10036＝4／193です。Ｎ＝313の時、（1／80）+（1／12520）+（1／5008）＝320／25040＝4／313です。Ｎ＝337の時、（1／88）+（1／7414）+（1／2696）＝352／29656＝4／337です。この様に分子分母を設定すると、素数でかつＮ＝24の倍数+1の場合、Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚと表現できます。