エルデスシュトラウスの予想素数で24の倍数+1

2011/02/28 00:29

このQ&Aのポイント

エルデスシュトラウスの予想である、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを直すと、(1)（Ｎ／Ｘ）+(2)（Ｎ／Ｙ）+(3)（Ｎ／Ｚ）＝4です。
Ｎ＝2×2×2×3×ｎ+1です。Ｎ+Ｔ+Ｓが8の倍数であれば、4で割りＸが出ます。その時、Ｔ+Ｓは7・15・23・31・・と（8の倍数－1＝8ｔ－1）です。
足して23になるＴとＳの組合わせと、Ｔ×ＳをＸ＝2×（3×ｎ+3）が約数として持つか調べます。そうしてｔ＝4,5,6,7・・・と調べます。

エルデスシュトラウスの予想素数で24の倍数+1

今回は、Ｎが素数かつ24の倍数+1の場合に限って、説明をさせて貰います。それ以外はhttp://qanda.rakuten.ne.jp/qa6541074.htmlで証明済み。エルデスシュトラウスの予想である、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを直すと、(1)（Ｎ／Ｘ）+(2)（Ｎ／Ｙ）+(3)（Ｎ／Ｚ）＝4です。(1)Ｎ／Ｘを出来る限り4に近づけて、2つの数字(2)(3)を加えて4にするところから始めて、次第に(2)+(3)を大きくして行きます。Ｎ＝2×2×2×3×ｎ+1です。Ｎ+Ｔ+Ｓが8の倍数であれば、4で割りＸが出ます。その時、Ｔ+Ｓは7・15・23・31・・と（8の倍数－1＝8ｔ－1）です。出来る限り4に近いＸは、（Ｎ+7）／4＝（2×2×2×3×ｎ+1+7）／（2×2）＝2×2×2×（3×ｎ+1）／（2×2）＝2×（3×ｎ+1）です。（Ｎ+7）／（2×（3×ｎ+1））＝Ｎ／（2×（3×ｎ+1））+7／（2×（3×ｎ+1））＝Ｎ／Ｘ+Ｔ／（2×（3×ｎ+1））+Ｓ／（2×（3×ｎ+1））＝4は必ず成立します。この時、Ｔ／（2×（3×ｎ+1））とＳ／（2×（3×ｎ+1））が共に、1／自然数の形になれば予想は成立します。何故なら、（Ｎ／Ｘ）+（1／ｙ）+（1／ｚ）＝4が成立すれば、両辺に1／Ｎを掛け、（1／Ｘ）+（1／（Ｎ×ｙ））+(3)（1／（Ｎ×ｚ））＝4／Ｎとなるからです。Ｔ×Ｓが（2×（3×ｎ+1））＝Ｘの約数であれば良いのです。ｔ＝1の時、Ｔ+Ｓ＝7です。組合せは1+6＝2+5＝3+4＝7の3通りです。Ｘ＝2×（3×ｎ+1）が、1と6、2と5、3と4いずれかの約数を持てば、成立します。2はＸの約数なので、Ｘが後3、3と2、3と5の内1組でも約数として持てば成立します。成立しない時、ｔ＝2に移ります。Ｔ+Ｓ＝15です。Ｔ+Ｓの組合せは、1+14＝2+13＝3+12＝4+11＝5+10＝6+9＝7+8＝15の7通りです。Ｘは、（Ｎ+15）／4＝（2×2×2×3×ｎ+1+15）／（2×2）＝2×2×2×（3×ｎ+2）／（2×2）＝2×（3×ｎ+2）です。Ｘ＝2×（3×ｎ+2）は、2を既に約数に持つので、後7、13、2と2と3、2と11、5と5、3と3と3、2と2と7何れか1組でも、約数として持てば良いのです。　成立しない時、ｔ＝3に移ります。足して23になるＴとＳの組合わせと、Ｔ×ＳをＸ＝2×（3×ｎ+3）が約数として持つか調べます。そうしてｔ＝4,5,6,7・・・と調べます。この計算は、エクセルを使えば簡単に求められます。＝ＩＦ（ＭＯＤ（Ｘ,Ｔ×Ｓ）＝0,1,””）の算式を入力すると、ＸがＴ×Ｓを約数に持つか否か分かります。Ｎの値が大きくなる程多くのｔを使え、又Ｘの約数が増える為、成立する可能性は高まります。Ｎ＝1873の時、Ｘ＝（1873+7）／4＝470＝2×5×47なので、2と5が約数にあるので、Ｔ＝2、Ｓ＝5です。4／1873＝（1／1873）×（1873／470）+（1／1873）×（2／470）+（1／1873）×（5／470）＝1／470+2／（470×1873）+5／（470×1873）＝1／470+2／880310+5／880310＝1／470+2／880310+5／880310＝1／470+1／440155+1／176062＝（1873+2+5）／880310＝（1873+2+5）／880310＝1880／880310＝4／1873です。また、Ｎ＝1609の時、ｔ＝2でした。Ｘ＝（1609+15）／4＝406＝2×7×29です。2×7が約数にあるので、Ｔ＝1、Ｓ＝14の組み合わせです。4／1609＝（1／1609）×（1609／406）+（1／1609）×（1／406）+（1／1609）×（14／406）＝1／406+1／（406×1609）+14／（406×1609）＝1／406+1／653254+14／653254＝1／406+1／653254+1／46661＝（1609+1+14）／653254＝1624／653254＝4／1609でした。Ｎ＝8641などは、ｔ＝12でした。Ｘ＝（8641+95）／4＝8736／4＝2184＝2×2×2×3×7×13です。Ｔ+Ｓ＝39+56＝95で、（1／8641）×（（8641／2184）+（39／2184）+（56／2184））＝（1／2184）+（1／483896）+（1／336999）＝（8641+39+56）／18871949＝8736／18871949＝4／8641でした。Ｎが大きくなる程、成立する可能性はより大きくなるので、エルデスシュトラウスの予想は成立すると予想します。