フェルマーの定理の変形バージョン

質問

n>=3以上とするとき、
x^n＋ｙ^(n+1)＝z^n を満たす自然数x,y,zは存在しますか？

フェルマーの定理と違うところは、ｙ^n ではなく、y^n*y=y^(n+1)
となっているところです。
この公式を満たすｘｙｚは存在しますか？

回答No.1

maimait · ベストアンサー

x,y,zの条件がそれぞれ素であるような数ではなければ以下のように無限に出せる方法を示しせます。

まず、n=3とすると問題の式は x^3+y^4 = z^3 です。
ここでx=ay、z=by となるような整数a,b を考えると問題の式は
a^3*y^3+y^4 = b^3*y^3 と変形でき、
y = b^3 -a^3 となります。

この方程式の整数解は、b>aである整数なら何でもよいので
(a,b,y)=(1,2,7)、(a,b,y)=(2,3,19)、(a,b,y)=(4,5,61) など無数に探せます。
それぞれ
7^3 + 7^4 = 14^3
38^3 + 19^4 = 57^3
244^3 + 61^4 = 305^3　に対応します。

n=4 以降も同じような変形でいくらで見つかります。

お礼

本当にありがとうございました(*- -)(*_ _)ペコリ
良くわかりました。
低レベルな質問で申し訳ないのですが、
「素であるような数でなければ」というのはどういう意味ですか？
「素」について調べてみたのですが「数学で、二つの数・式の一方がそれぞれ他で整除できない関係にあること。」とありましたが、よくわかりませんでした。

回答No.2

maimait

#1です。
>「数学で、二つの数・式の一方がそれぞれ他で整除できない関係にあること。」
素の意味は整数どうしの場合は、「互いに素（最大公約数が 1 ）」の意味でいいかと。例にあげたx,y,zの組は、全て最大公約数がyですので「素でない」としたわけです。

質問文では、どんな数でもx、y、zが見つかれば題意を満たしているので特に断る必要はありませんでした。
しかし、互いに素でない整数が条件だと、式変形だけで簡単にみつけらるわけだし、もしかしたら各数が整数倍でないケース（たとえば共通の素因数がないや素数同士）を知りたかったのかなとも思い、「その場合は今回の方法は当てはまりませんけど」という意味で書いただけです。
　ちなみに、整数倍でないケースはちょっと判りません。

お礼

ありがとうございましたm(_ _"m)ペコリ
とてもよくわかりました。
素でない数で大丈夫ですので、これで解くことができました。
本当にありがとうございました。ペコリ(o_ _)ｏ))