平方完成

質問

y=xの２乗＋（a+1)x-2a を平方完成してください。

途中計算もお願いします。

回答No.3

noname#181872

> 2次式 Xの二乗＋AXに、Xの係数Aの半分の二乗を定数項として加えて完全平方式を作ると、二次方程式を解くときに利用できる。

> 適当な定数項を加えて完全平方式を作る式変形を平方完成という。

平方完成をしてくれ、という質問をする人が、平方完成のことをこんな素晴らしい
（というかきっちりし過ぎた）文章を書くとは…

というかきっちりし過ぎていて、本当に理解しているの？という文章ですね。
本当にこの文章の意味を理解しているのであれば、この通りの作業をするだけなのでは？

なんてイヤミっぽく書いても意味ないので。

平方完成とは、与えられた式を○（x+△）^2 + □（^2は2乗の意味）の形に変形することになります。

では与えられた式についてこの作業をする、つまり○、△、□は何かを求める作業になります。
まず○（x+△）^2+□を展開すると、
○x^2 + 2○△x + ○△^2 + □
になります。

ここで与えられた式とこの式を比較すると、
x^2の項　x^2　　　　○x^2
xの項　　(a+1)x　　　2○△x
定数項　-2a　　　　　○△^2 + □
となります。これが一致しなければならないのだから、x^2の項から○=1なのは明らか、
xの項から、△=(a+1)/2となる。
そして□=-2a-○△^2なので、これまでで求めたものを代入すれば答えになる。

ということです。

慣れてくると、このようにきっちりしなくても機械的にできるものです。
というのも平方完成とは
x^2 + (a+1)x -2a=○(x+△)^2 + □
に式変形をする作業なのだけど、もとの式のx^2の係数は1だから、○=1になりますし、
(x+△)^2=x^2 + 2△x + △^2　なのだから、△はもとの式のxの係数の半分ということが分かり、
x^2 + (a+1)x -2a={x+(a+1)/2}^2 + □
と、ここまでは機械的にできます。そして□ですが、これをとりあえず、
{x+(a+1)/2}^2 - 2aとすると、もとの式に比べて、2乗の式の中にある定数項分だけ
大きくなってしまいます。なので、それを差し引けばよい。
つまり、
x^2 + (a+1)x -2a={x+(a+1)/2}^2 - 2a - {(a+1)/2}^2
となります。

回答No.2

nura-riyo

まず
a+1⇒A
として見やすく表すと、

y=xの二乗+Ax－2a

y=(x+(2分のA))の二乗－(2分のA)二乗－2a

y=(x+(2分のA))の二乗－4分の(A二乗)－2a

Aの所にa+1を入れて、

y=(x+(2分のa+1))の二乗－4分の((a+1)の二乗)－2a

y=(x+(2分のa+1))の二乗ー4分の(a二乗+2a+1)－4分の8a

y=(x+(2分のa+1))の二乗－4分の(a二乗-6a+1)

分数の上の式は()でくくりました。

二次関数ですか？

座標は（－2分のa+1、－4分の(a二乗-6a+1)）ということになりますかね？

見辛くて申し訳ありません・・・

正しいかは分かりませんので、質問者様やほかの回答者様と答えが違ったら、私の方が間違えていると思います(^_^;)

回答No.1

noname#181872

そもそも平方完成とはどういう作業をすることか、ということを理解していますか？

お礼

2次式 Xの二乗＋AXに、Xの係数Aの半分の二乗を定数項として加えて完全平方式を作ると、二次方程式を解くときに利用できる。

適当な定数項を加えて完全平方式を作る式変形を平方完成という。