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ゴールドバッハ予想：偶数が2つの素数で表現される可能性
- ゴールドバッハ予想とは、偶数が2つの素数の和で表せることを言い表した予測です。
- コンピュータによる検証では、5×10の17乗の偶数までが2つの素数で表現可能であることが確認されています。
- しかし、偶数が大きくなるに従って2つの素数で表現できる確率は低下し、極端に大きな偶数では表現できない場合もあります。
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言いたいことは、 偶数（2Ｐ）が極端に大きくなると、Ｐから2Ｐ間に素数が全く存在しなくなることもあり得るから、偶数（2Ｐ）は決して2つの素数では表せない。 でしょうか？ 前の質問でも同様でしたが、ここにも無限の問題がでてきていますね。 無限について安易に論じないほうがいいですよ。 なお、任意の自然数 n に対して n と 2n の間には素数が存在することは証明されています（ベルトラン＝チェビシェフの定理）。
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- alice_44
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＞ 偶数（2Ｐ）が極端に大きくなると、Ｐから2Ｐ間に素数が全く存在しなくなることもあり得ます。 この「あり得ます」が、怪しいレトリックになっている。 2Ｐが大きくなると、Ｐから2Ｐ間に素数が存在しなくなることもあるような気がする …という単なる感想を、実際にそういう例がある…という証明にすり替えようとしている。 これを、まともな証明へ修正したいなら、Ｐから2Ｐ間に素数が存在しないようなＰが 確かに存在することを、何らかの方法で示さなければならない。 それが不可能であることは、A No.2 に書いてある通り。
- cyototu
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多分質問者さんは、数学の定理を証明することの意味を理解していないのだと思います。ある人にそれの正しさや、あるいは間違いであることが自明に見えることでも、それが本当にそうであると厳密に証明することは簡単なことでは在りません。そして、その当たり前だと見えたことを証明する過程で、数学の基本的な概念が洗練され、幾つかの新しい概念がそれによって生み出されて来る歴史を数学は何度も経験して来ました。そしてその新しい概念を使って他の自明でない定理が証明されて来たりもしたのです。だから、誰が見ても当然に見えるものを、実はその通りに正しかったと証明をして何になるのか、という非難はお門違いなのです。 例えば、「ジョルダンの閉曲線定理」と言うのを質問者さんはご存知だと思います。それは、以下の通りです： c を平面 R2 上の単純閉曲線とする。このとき、c の像の補集合は二つの互いに素な連結成分から成り、一方の成分は内部と呼ばれる有界領域であり、他方の成分は外部と呼ばれる非有界領域となる。また、c は両成分の境界を成す。 厳密さを犠牲にしてもっと直感的に言うと、 平面上に閉じた連続曲線を描く時、その平面は曲線の内部と外部に必ず分けられる。 と言う定理です。この定理の証明は、複素平面の意味、連続の意味、閉じた曲線の意味、集合の意味等々、数学の基本的な概念の正確な定義を解析的に明確にして行かないと証明できません。だから、直感的に自明に見えることを、やはりその通りであったと厳密に証明することは数学では大変重要なのです。 実は私は物理屋なのですが、物理屋から見て解析的に証明が出来ていると見えることでも、数学屋さんに言わせると穴だらけのことが諸っちゅう在ります。私が知っている有名な例は、非線形数学で有名なKAM（Kolomogorov-Arnold-Moser）理論あるいはKAMの定理と言うのが在ります。私は１９５５年ごろに出たKolomogorovの数ページばかりの原論文の英訳を読みましたが、そこで論じられている解析的な分析から見ると、彼は本質を全て説得力ある形で述べており、物理屋の目から見ると証明は本質的に終わっているように見えました。ところが、この定理を数学屋さんの目から見て厳密に証明されたのはその５年後あたりで、それぞれArnoldとMoserが独立に提出した論文でした。それらの論文に目を通したことがありますが、ArnoldはKolomogorovの論理に近い形で証明しており、それには１００ページを優に超えており、MoserはKolomogorovの論理を大分変えた形でアプローチしており、その論文も数十ページに渡っていました。そして、その結論は、Kolomogorovは正しかったと言っただけでした。確かにその証明の過程で、ArnoldはArnold拡散というKolomogorovも気が付かなかった現象を見付けまいたが、そのことは元のKolomogorovの論理の単なる枝葉で、本質的な主張はKolomogorovで全て出ていました。 こと程左様に、数学の相当訓練を受けている筈の物理学者が見て証明が出来ているように見えている物でも、それを数学者を満足させるように厳密に証明するには、細かな問題を一杯明確にして行かなくてはならないのです。 幸運にも物理屋や工学者には、自然現象との直接な比較と言う、数学者の持っていない認識の仕方が在るので、厳密さに欠けていても物理屋や工学者は安心していられるのです。しかし、数学者はそんな便利なものを持っていないので、物理屋程度の理解では納得されないのです。そして、その徹底した態度が数学者を有意義な存在として皆さんから尊敬されているのです。
- Tacosan
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.... 「偶数が2つの素数で表せる確率が高い時には、その偶数はその2つの素数で表せる」 がどうして「当たり前」なのか. ちなみに「素数がまばらになる」というのはある意味正しい (素数定理) が, 逆に「どんな α>0 に対してもうまく N を選べばすべての n>N に対し『n と (1+α)n の間に少なくとも 1個の素数が存在する』」ということも知られている.
- bttf2003
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質問者さんの数学的センスがないだけです。 数学をやらなければいいのです。
- h_bopper2002
- ベストアンサー率46% (253/546)
Ｐから2Ｐ間のほうが0からＰ間より素数の密度が低いことは確かでしょう。ここであなたの考察を逆にしてみますと、Ｐから2Ｐ間のほうから素数Yを選んだとき、素数Xを選べる確率は高くなると考えられます。 （あなたも確認していると思いますが）以下サイトにあなたの考察と逆の予想が書いてあります。 「偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"こと」 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3 すなわち、この予想は即席に確率を掃きだして範囲を限定できるようなものではなく、「当たり前」の事を言っているだけではないと考えられます。 また、この予想が「ナンセンス」かどうかですが、これは意外と答えるのは難しいですね。数学も含め、いわゆる自然科学は「真理」を求めるのですが、「なぜ真理を求めるのか？」という疑問は、自然科学の中で問われることがありません。"単純な"文章や数式で真理を表現できる定理を発見することに、「美しさ」を感じたり、「森羅万象を知る欲求」が満たされるから、意味がある（＝ナンセンスではない）といえるものと思います。
何が何だかサッパリわかりませんが、0の発見に代表されるように、数学って当たり前を証明する事じゃ無いの？
