三角形の数列

質問

原点Ｏ(0,0)、Ａ(1,0)、Ｂ(0,1)を頂点とする
三角形ＯＡＢがある。
３つの線分ＯＡ、ＡＢ、ＢＯの中点をそれぞれ、Ｐ1、Ｑ1、Ｒ1とする。
また、３つの線分Ｐ1Ｑ1、Ｑ1Ｒ1、Ｒ1Ｐ1の
中点をそれぞれ、
Ｒ2、Ｐ2、Ｑ2とする。
同様にしてＲn、Ｐn、Ｑnまで定まったとき、線分ＰnＱn、ＱnＲn、ＲnＰnの中点をそれぞれ、Ｒn、Ｐn、Ｑnとする。
Ｐn(ｘn,ｙn)とおく。

この時の、
Ｐnの座標を求めるときに
回答では、それぞれの中点を引き算を使って求めています.
(ｘ2=1/2-1/4=1/2など。)
でも普通、
中点のｘ座標は、
線分の両端のｘ成分を足して２でわりますよね??
(ｙ座標も同様)

どうして引き算
もちこむのですか??
仮にそれが、
この問題の解法だとしたら、
ｘ2=1/2-1/4=1/2の
-1/4は、どこからきたんですか??

回答よろしくお願いします

回答No.3

c_850871 · ベストアンサー

説明が難しいのですが，規則性に気づけばその方が計算しやすいから・・・ということだと思います．

まず試験的作業をしてみますと，【点P[n]が，△P[n]Q[n]R[n]の各中点を結んで出来る辺のうち，常にx軸に平行な線分の上に来る】ということがわかるかと思います．
それは中点連結定理を延々を適用していくと，線分の長さが1/2倍，1/4倍，…となっていきます．
さらに
P[2]はP[1]より1/2だけx座標が左にいき
P[3]はP[2]より1/4だけx座標が右に行く
…
ということを繰り返しますと

●nが奇数のときはP[n+1]はP[n]より(1/2)^nだけx座標が左にいき
■nが偶数のときはP[n+1]はP[n]より(1/2)^nだけx座標が右にいく

ことがわかります．
この繰り返しで

x[2]は●の場合なので
x[2]=1/2 - 1/4
x[3]は■の場合なので
x[3]=1/2 - 1/4 + 1/8

…

というように計算できるというわけです．

お礼

回答ありがとうございます。

規則性を見つけることが
大切なんですね!
これから数列と絡んだ
図形問題は規則性を
意識してみます！

ありがとうございました!!

回答No.2

f272

超能力を使って見ると...
Pn，Qn，Rnのx座標の和は必ず1になるから
x[n]=(Qnのx座標+Rnのx座標)/2=(1-x[n-1])/2=1/2-x[n-1]/2
x[1]=1/2であることも簡単に分かる。

補足

回答ありがとうございます。

すべての和が１になるというのは
どこから言えるんでしょうか??
自分でやってくうちに
気付くものですか??
それとも、
そういう有名な法則や定義みたいなものがあるんでしょうか?

回答No.1

alice_44

どこから来たんでしょうね？
xn = ↑OPn = (↑OQn + ↑ORn)/2 から計算してゆく
のが普通だと、私も思いますが…
x2 = 1/2 - 1/4 の由来が知りたいのなら、
その奇特な解答例の全体、または、少なくとも
x2 = 1/2 - 1/4 の前後の部分くらいは書き出さねば、
超能力者でもない限り解らないでしょう。
補足に書いてみますか？

補足

回答ありがとうございます。

解説を書けばよろしいんですね??

まず、ｘ1=1/2,ｙ1=0であり、
ｘ2=1/2-1/4=1/4
ｙ1=1/2

同様にして
ｘ3=1/2-1/4+1/8,
ｙ4=1/2-1/4,
…より、

ｘnは初項1/2,公比-1/2
の等比数列の和となり、
ｙnはｎが２以上の時において、
ｙn=ｘn-1てなるから…

という感じです。