解法

質問

0<t<1とする。⊿P1Q1R1において、辺Q1R1をt:(1-t)に内分する点をP2、辺R1P1をt:(1-t)に内分する点をQ2,辺P1Q1をt:(1-t)に内分する点をR2とし、⊿P2Q2R2を作る。この操作を繰り返して、自然数ｎに対して、⊿PnQnRnにおいて、辺QnRnをt:(1-t)に内分する点をPn+1、辺RnPnをt:(1-t)に内分する点をQn+1,辺PnQnをt:(1-t)に内分する点をRn+1とし、⊿Pn+1Qn+1Rn+1を作る。⊿PnQnRnの面積をanとするとき、次の問いに答えよ。

(1)⊿PnQn+1Rn+1の面積をanとｔを用いて表せ。また、an+1をanとtを用いて表せ。
(2)S=Σ(∞・n=1)anとおくとき、Sをa1とtを用いて表せ。
(3)a1=1とする。Sを最小とするｔの値とそのときのSの値を求めよ。

答えは
(1)⊿PnRn+1Qn+1=t(1-t)an, an+1=(3t^2-3t+1)an
(2)S=a1/(-3t^2+3t)
(3)t=1/2 S=4/3

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(1)⊿PnQn+1Rn+1の面積をanとｔを用いて表せ。また、an+1をanとtを用いて表せ。

⊿PnQnRnの辺の長さをPnQn=rn, QnRn=pn, RnPn=qn、頂角を∠Pn=α,∠Qn=β,∠Rn=γとおく。

an=qnrnsinα/2=rnpnsinβ/2＝pnqnsinγ/2

⊿PnQn+1Rn+1＝trn(1-t)qnsinα/2=t(1-t)qnrnsinα/2=t(1-t)an

⊿QnRn+1Pn+1＝tpn(1-t)rnsinβ/2=t(1-t)pnrnsinβ/2=t(1-t)an

⊿RnPn+1Qn+1＝tqn(1-t)pnsinγ/2=t(1-t)pnqnsinγ/2=t(1-t)an

an+1=⊿Pn+1Qn+1Rn+1=⊿PnQnRn-(⊿PnQn+1Rn+1+⊿QnRn+1Pn+1+⊿RnPn+1Qn+1

=an-3t(1-t)an=(3t^2-3t+1)an

(2)S=Σ(n=1~∞)anとおくとき、Sをa1とtを用いて表せ。

anは公比(3t^2-3t+1)の等比数列

Sn=Σ(n=1~n)an=a1[1-(3t^2-3t+1)^n]/[1-(3t^2-3t+1)]

公比は明らかに1より小さい（面積が小さくなっていくから）

よって

S=Σ(n=1~∞)an=lim(n→∞）Sn=a1/(3t-3t^2)

(3)a1=1とする。Sを最小とするｔの値とそのときのSの値を求めよ。

S=1/(3t-3t^2)=(1/3)[1/(t-t^2)]=(1/3)[1/{1/4-(t-1/2)^2}] （平方完成）

t=1/2のときSは最少となり、最小値S=4/3をとる。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。