確率の問題でつぼから玉を取り出す

質問

つぼUには白球1個と黒球1個の計2個、つぼVには白球2個と黒球1個の計3個が入っている。
各つぼから1球ずつとって、Uのつぼから取った球はVのつぼへ、Vのつぼから取った球はUのつぼへ入れる手続きをn回行うとき、Uに白球が2個ある確率をpn、白球、黒球が1個ずつある確率をqn,黒球が2個ある確率をrnとする。
(1) p1,q1,r1,を求めよ
(2) pn,qn,rnをpn-1,qn-1,rn-1を用いて表せ
(3) この手続きを無限回行うと確率pn,qn,rnがそれぞれ一定値p,q,rになることが分かっているとする。このときp,q,rの値を求めよ

という問題なんですが、
(1)は単純に何通りあるかをしらべて
p1 = 1/3
q1 = 1/2
r1 = 1/6
と分かって
(2)も普通に考えて
pn = 1/3*pn-1 + 1/3*qn-1
qn = 2/3*pn-1 + 1/2*qn-1
rn = 1/6*qn-1
となることも分かったんですが
(3)をどうすればいいかがわかりません。
pn,qn,rnをnを使って表すようにして極限をとればいいということは分かるのですがどうやればnだけで表せるのかが分かりませんでした。
pn-1などをうまく変形してp1などを使えばいいとは思うのですが・・・
どなたか教えてください。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

(2)の結果間違っていますのでこのままでは答えは出ません。
n-1回の後、Uに黒2個の場合から遷移される状態が無視されています。

答えの出し方としてはrn,qn,rnをnであらわしてその極限を取る方法もありますが、もともと収束するとわかっているのであれば、漸化式そのものの極限を取ることで答えを得ることが出来ます。

極限を取るとpnもpn-1もpになることを利用します。

回答No.4

rnakamra

#2の回答者です。補足をしておきます。
漸化式の極限を取りえられた式ですが、このままでは解けません。
p,q,rに対して3式でているので解けそうですが、得られる式は独立な式ではないため、実際には2個しか使えません。
もう一つの条件が必要となります。ご注意ください。

補足

お二方ありがとうございます。
(2)は確かに間違いでした。
qn = 2/3*pn-1 + 1/3*qn-1 + rn-1
で大丈夫ですよね。
(3)を考えてみて
lim pn = p
lim qn = q
lim rn = r
のpn,qn,rnに(2）で求めたものを代入して
lim pn-1等もpになることを利用して式を3つ立て、
p + q + r = 1
を利用して方程式を解くと値が
p = 3/10 ,q = 3/5 ,r = 1/10
となったのですがこれであってますか？

回答No.3

owata-www

あ、確かに
rn-1が入っていませんでしたね

回答No.1

owata-www

pn+qn+rn＝1
pn-1+qn-1+rn-1＝１
です、これは意味を考えれば分かります

そうすれば式変形できるかと