重積分の計算

質問

∫∬D e^(x+y+z)dxdydz
ここでDは0≦x≦1、0≦y≦x、0≦z≦x+2yで与えられている。
どのように解けばよいでしょうか？
ご指南お願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

紛らわしい変数変換もないので順に積分を行う。
∫∫∫[D] e^(x+y+z)dxdydz {D;0≦x≦1、0≦y≦x、0≦z≦x+2y}
= ∫[0,1]dx∫[0,x]dy・e^(x+y)∫[0,x+2y]{e^z}dz
= ∫[0,1]dx∫[0,x]{e^(2x+3y)－e^(x+y)}dy
= ∫[0,1]{1/3・e^5x－4/3・e^(2x) + e^x}dx
= 1/15・e^5－2/3・e^2 + e－2/5

(計算間違いしてるかも知れないので検算してみて・・・！)

お礼

計算してみたところ、答え一致しました。
eをうまく分離して積分するのがポイントだったのですね。
勉強になりました。
どうもありがとうございました！