重積分の問題

質問

(１)∫∫∫_v　ｄｘｄｙｄｚ　（V＝｛（ｘ，y，z）｜　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦１｝）

(２)sin(x+y+z)の三重積分で領域Vは、V={(x，y，z)｜０≦x，y，z≦π}

(３)平面ｚ＝０上に面積確定の有開閉領域Dがあり、その面積をSとする。点Q＝（ａ，ｂ，ｈ）（ｈ＞０）をとり、ＰをＤの点として動かすとき、線分ＱＰ上の点全体の集合を、Ｄを底面、Ｑを頂点とする錐体と呼ぶ。この錐体の体積はＳｈ／３であることを示せ。

上の三問なんですが、(１）は、ｘを固定して、領域Ｄとして、Ｄ＝｛（ｙ、ｚ）｜y^2/b^2+z^2/c^2≦１－x^2/a^2｝として解こうとするのですがこれからどうすればわかりません。
(２)は答えは８なのですが、自分は－８になります。
(３)はさっぱりわかりません。

どうかよろしくお願いします。

回答No.2

Nandayer · ベストアンサー

この問題で変数変換が使えないとはつらいですね。
　まだ講義がそこまで進んでいないということですか？

（１）は ikecchi さんのアイデアでいけるようですよ。楕円の面積は使いますが。
　　　y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1 - x^2/a^2
より、
　　　y^2/(b^2*(1 - x^2/a^2)) + z^2/(c^2*(1- x^2/a^2)) ≦ 1
この楕円の面積は、
　　　π b c (1 - x^2/a^2)
で表せます。これが閉領域Ｄ(x)の面積です。
　だから、問題の積分は、これを x = -a から x = a まで積分することに帰着します。

（３）は、相似の考えでも使うのでしょうか。すると、z = u で錐体を切った断面積は、
　　S (1 - u/h)^2
で表せます。（←厳密な議論をすると、ここを突っ込まれると弱いかも。）
　だから、問題の積分は、これを u = 0 から u = h まで積分することに帰着します。

　これでどうでしょう？
　意味不明のところがあったら、質問してください。

補足

すみません、楕円の面積の求め方がわからないですよ～積分するとわけがわからなくなってしまいました。あと、
＞z = u で錐体を切った断面積は、
＞　　S (1 - u/h)^2
＞で表せます。
ここの出し方も分からないのですが？？
どうか解説お願いします。

回答No.4

Nandayer

（１）
　楕円 x^2/a^2 + y^2/b^2 ≦ 1 の面積は、
　　　b Sqrt (1 - x^2/a^2)　　　←　Sqrt は正の平方根です
を x = 0 から x = 1 まで積分したものの４倍です。
　 x = a sin t とおいて変数変換（１次元だから OK ですよね）しましょう。
　でも楕円の面積の公式を使わないとすると、もとの３次元の積分は１次元ずつ累次積分するように書き直したほうがよいような・・・。

（２）
　私もやってみたら -8 になってしまいました！
　 ANo.#1 では、いいかげんなことを言ってすみませんでした。
　 kony0 さんの御指摘を読んで、＜なるほど＞です。

（３）
　相似の議論では、私が勘違いしていました。
　 ANo.#2 の（）内は書くんじゃなかった。取り消します。

お礼

ありがとうございました！やはり問題集の解答なんてあてにしたらだめですね☆またがんばります！

回答No.3

kony0

楕円形 x^2/○^2 + y^2/△^2 = 1 の面積は π○△ は公式でもいいような。
もちろんこれは1次変換や変数変換から導けます。
（半径１の円を横に○倍、縦に△倍しているので、面積もπの○×△倍、というのでは乱暴ですか？）

(3)については、「Qを相似の中心とする相似の位置にある」で大丈夫かと思います。（相似の位置こそが「相似」の定義だったと思うので、これについて議論をどうのこうのいう必要はなく、これでじゅうぶん厳密な議論だと考えます）
相似比が、底面：断面＝h:(h-u)なのは大丈夫ですよね?!
ということで、断面の面積は S*((h-u)/h)^2

ちなみに(2)は私も－8になってしまいました・・・
∫∫∫sin(x+y+z)dxdydz=∫∫[-cos(x+y+z)](x=0,π)dydz
=∫∫cos(y+z)-cos(π+y+z)dydz=∫∫2cos(y+z)dydz
=2∫[sin(y+z)](y=0,π)dz=2∫sin(π+z)-sin(z)dz
=2∫(-2)sin(z)dz=4[cos(z)](z=0,π)=-8

感覚的には、x+y+zが[π,2π]の範囲にあるのが全体の2/3の区間になると思いますので、なんとなく負っぽい気はしなくはないんですけどね・・・

補足

返事が遅くなりましてどうもすみません。大変丁寧な解説ありがとうございます！
ところで、
＞感覚的には、x+y+zが[π,2π]の範囲にあるのが全体の2/3の区間になると思います＞ので、なんとなく負っぽい気はしなくはないんですけどね・・・
の部分の意味がわからないんですが。よかったら追加で解説していただければ幸いです。

回答No.1

Nandayer

（１）
　楕円体 V を単位球に写すような変換を考えます。
　重積分の変数変換公式（Jacobian がでてくる）を使いましょう。
　単位球の体積を使うと、ほとんど計算は不要なはずです。

（２）
　憶測に過ぎませんが、どこかで上端と下端を取り違えたものと思われます。

（３）
　錐体を、同じ底面 D と同じ高さの柱体（？：例えば円柱）に移すような変換を考え、重積分の変数変換公式を使います。錐体の頂点と柱体の上面は１対１に対応しませんが、１点なので無視します。
　すると、２次元ー１次元に分解する累次積分が使えるようになります。

　以上、確かめていないので思いつきに過ぎませんが、御参考になれば幸いです。

補足

ありがとうございます。ですが、変換公式なしで解かないといけません。なにかアドバイスがあれば教えてください。