等比数列の文章題です

質問

oを原点とする座標平面上で、a>0として2点
A1(a,0),B1(0,a)をとる。つぎに、△OA1B1の内心
C1を通って直線A1B1に平行な直線をひき、x軸、
y軸との交点をそれぞれA2,B2とする。さらに、
△OA2B2の内心C2を通って、直線A2B2に平行な直線を
引き、x軸、y軸との交点をそれぞれA3,B3とする。
このような操作を限りなく続けていくとき、△OAnBnの
面積をSnとしてn→∞のときのSの値を求めよ。

　図は書くことができないので勘弁してください。
簡単にいうと直角三角形の中に内接円があって
その中心を通る直角三角形があってまたそのなかに
内接円があるののくりかえしです。

　ちなみに答えは(4√２＋５）a^2/１４です。すべての
答えじゃなくて解く方針だけでけっこうです。
ちょっと文章が長くなってしまいましたが、ぜひ数学
が得意な人、僕に助け舟を出してください！

回答No.1

at06 · ベストアンサー

まず、Anのx座標とBnのy座標は常に同じです。その値をa_nとします。
目標にすることは、漸化式を作ることです。

△OAnBnについて考えます。（内接円の半径をr_nとします。）
△OAnBnの面積Snは、内接円の半径を用いて、
　Sn = (1/2)(a_n+a_n+√((a_n)^2+(a_n)^2))r_n
と表せます。（分からない場合は、内接円の中心と三角形の頂点を結ぶ線分を描いて、出来上がった三つの三角形の面積を計算してみてください。）
次に、Snを普通に面積公式で求めます。
　Sn = (1/2)(a_n)^2
この２式を比較すれば、r_nがa_nで表せます。r_n = (1/2)(2-√2)a_nとなるはずです。
ここで、An+1 Bn+1という線分は、傾きが-1であり、△OAnBnの内接円の中心(r_n,r_n)を通ります。
よって、a_(n+1) = 2r_n
これによってa_nの漸化式ができました。そこからa_nを求めればSnは簡単に求まりますね。
あとはそれのnを無限大に飛ばすだけです。

ちなみに、Sn→0（n→∞）です。(4√2+5)a^2/14に収束するのはSnの無限級数ですね。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。半径を使って
面積をあらわすとういう発想はなかったです。
かなり分かりやすかったです！