極限の問題の質問です。

質問

こんにちは。
久しぶりに数学を解いていて少々つまずきました。
極限値を求めるのですが、以下の問題です。

lim[n→∞]{ (1/n) + (n/(n^2+1)) + (n/(n^2+2^2)) + ... + (n/(n^2+(n-1)^2)) }

です。
なんとなく
1/n と　Σ(kは1→n-1) (n/n^2+(k)^2)と表せるかなと思ったのですが、
ここから先が進みません。
方針や使う方法等教えていただければありがたいです。

回答No.1

info22_

積分を習う初期段階で習う区分積分法の問題です。
なので教科書や参考書のその当たりを復習してみてください。

>lim[n→∞]{(1/n) + (n/(n^2+1)) + (n/(n^2+2^2)) + ... + (n/(n^2+(n-1)^2))}
=lim[n→∞](1/n){(1/1) + (1/(1+(1/n)^2)) + (1/(1+(2/n)^2)) + ...
+ (1/(1+((n-1)/n)^2))}
=∫[0,1] 1/(1+x^2)dx = [tan^-1(x)] [0,1] = tan^-1(1)=π/4