極限の問題です

質問

極限lim[n→∞](1/n)Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}のとき方を教えてください

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

区分求積法を使うのです。（下記URL参照）
典型的な区分求積法の形になっていますので。
k/nをｘとして積分するって感じかなぁ。

lim[n→∞](1/n)Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}
＝∫[0～1]x/{1+x^2}dx
＝(1/2)log2

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/limsig01.htm

お礼

ありがとうございます。区分求積法とゆうものがあったとは。おっしゃるとおりかなり典型的な形ですね。
しかも教えてもらったとこはかなり今の私にはピッタリな感じです。ありがとうございました。

回答No.2

mmky

回答は出ていますので、参考程度に

Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}≦{∫[k=1～n](k/n)/{1+(k/n)^2}dk}
k/n=x, dk=ndx
={n*∫[k=1/n～1](x)/{1+(x)^2}dx}
=n*(1/2)*{log(2)-log(1+(1/n)^2)}
=n*(1/2)*{log(2)-log(1+(1/n)^2)}

lim[n→∞](1/n)Σ[n,k=1](k/n)/{1+(k/n)^2}
=lim[n→∞](1/2)*{log(2)-log(1+(1/n)^2)}
=(1/2)*log(2)

補足

なんかいわゆる区分求積法とは違うような気がするんですけど、元をただせばこうゆうことなんですか？
級数をそのまま積分にするのは微小成分だからできるこっとなんですか？
もしお時間がありましたら、教えてください。