試験で解けなかった問題です(微分方程式）

質問

y´=(x+y)/(y-x)という問題です…テストで解けませんでした…orz
お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。

分子分母をxで除します。
y´=(x+y)/(y-x)=(1+y/x)/(y/x-1)
z=y/xとしてy´=(1+z)/(z-1)

これでyとzの微分方程式になりました。
y=∫(1+z)/(z-1)dz

部分積分しまして
[(1+z)log(z-1)]-∫log(z-1)dz
=[(1+z)log(z-1)]-∫logt dt (t= z-1)

さらに部分積分しまして
[(1+z)log(z-1)]-([( z-1)log(z-1)]- ∫1dt)
=[(1+z)log(z-1)]-[( z-1)log(z-1)]+t-c
=[(1+z)log(z-1)]-[( z-1)log(z-1)]+ (z-1)-c
=log(1-z){( 1+z)-( z-1)} + (z-1)-c
= log(1-z)^2+ (z-1)-c

∴　y= log(1-y/x)^2+ (y/x-1)-c

という考え方で問題は無いでしょうか？
お知恵をいただきたく思います。

回答No.1

noname#125931 · ベストアンサー

z=y/xとするとy'=z+xz'。
ただしプライム（'）はxに関する微分を表す。
よって方程式はz+xz'=(1+z)/(z-1)。
変数分離し、積分し、z=y/xを代入して解ける。

お礼

ありがとう御座います。何とか解くことができました！

恐らく、解はC=logx+1/2(-y^2/x^2+2y/x+1)になると思います。
(Cは積分定数)

補足

もう一つお聞きしたいのですが、
y´=(1+z)/(z-1)からy´=dy/dzとして直接積分できないのはy=f(x)とyがxの関数だからですか？