任意の実数は必ず小数展開出来ることはどうすれば示せ

質問

任意の実数は必ず小数展開出来ることはどうすれば示せるのでしょうか?

どうかわかりやすくご教示ください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

実際に小数展開しみせれば、証明としては十分でしょう。

任意の非負実数 A に対して、
a(n) = [ A・10^n ]/10^n - [ A・10^(n-1) ]/10^(n-1)
によって数列 a(n) を定めます。
ただし、[ ] はガウスの記号であり、[x] は
n ≦ x ＜ n+1 であるような整数 n を表すものとします。

a(n) は { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } のどれかであり、
Σ(n=0→∞) A(n)・10^-n = A であることを示すことができます。(＊)
これって、A の十進小数展開ですよね。

A が負実数のときは、|A| を上記のように小数展開して、
最後に A の符号を掛けておけばよい。

(＊)を示す際には、証明の前提として
「実数の定義」を明らかにしておくことが必要になるでしょう。

尚、小数展開による表示は実数の定義ではないので、
上記の論点はどこも循環していません。

お礼

どうも有難うございました。とても参考になりました。

補足

> Σ(n=0→∞) A(n)・10^-n = A であることを示すことができます。(＊)

実数の定義がなければどうして(＊)は使えないのでしょうか?

回答No.5

alice_44

＞ 実数の定義がなければどうして(＊)は使えないのでしょうか?

実数とは何かの定義次第によって、
Σ(n=0→∞) A(n)・10^-n が収束するかどうかが違ってきますからね。

お礼

どうも有難うございました。とても参考になりました。

回答No.4

Ishiwara

大きなケーキがあるとします。
ナイフで１kgずつ切って食べます。何個食べたか、個数は絶えず記録します。
１kg未満になったら、今度は100gずつ切ります。
100ｇ未満になったら、今度は10ｇずつ切ります。
こうすれば、記録を見て元のケーキの重量が分かります。
食べ終わらなくても構いません。記録は永久に続けられますから。

お礼

どうも有難うございました。とても参考になりました。

回答No.2

koko_u_u

>という事は循環論法になってしまうと言う事でしょうか?

当然、小数展開は実数の定義に現れてはいけません。はい、定義を補足にどうぞ。

お礼

> 当然、小数展開は実数の定義に現れてはいけません。
> はい、定義を補足にどうぞ。

[定義1] 順序体(A,+,・,≦)に於いて、下記の三条件(i),(ii),(iii)を実数の連続性(continuity
of real number)と言う。
(i) 順序体(A,+,・,≦)は完備である。
(ii) Aの元の数列{a_n}が上に有界で広義単調増加なら収束する。
(iii) AはCauchy完備であり、Archimedesの公理を満たす。

[定義2]順序体(A,+,・,≦)が実数体 ⇔ 順序体(A,+,・,≦)は実数の連続性を満たす。

が実数の定義になろうかと思います。

koko_u_u先生。
是非,小数展開出来ることの証明をお願い致します。m(_ _)m

補足

> 当然、小数展開は実数の定義に現れてはいけません。
> はい、定義を補足にどうぞ。

[定義1] 順序体(A,+,・,≦)に於いて、下記の三条件(i),(ii),(iii)を実数の連続性(continuity of real number)と言う。
(i) 順序体(A,+,・,≦)は完備である。
(ii) Aの元の数列{a_n}が上に有界で広義単調増加なら収束する。
(iii) AはCauchy完備であり、Archimedesの公理を満たす。

[定義2]順序体(A,+,・,≦)が実数体 ⇔ 順序体(A,+,・,≦)は実数の連続性を満たす。

が実数の定義になろうかと思います。

回答No.1

koko_u_u

ということは、まずは実数を定義せねばならんのですよ。補足にどうぞ。

お礼

> 当然、小数展開は実数の定義に現れてはいけません。
> はい、定義を補足にどうぞ。

[定義1] 順序体(A,+,・,≦)に於いて、下記の三条件(i),(ii),(iii)を実数の連続性(continuity
of real number)と言う。
(i) 順序体(A,+,・,≦)は完備である。
(ii) Aの元の数列{a_n}が上に有界で広義単調増加なら収束する。
(iii) AはCauchy完備であり、Archimedesの公理を満たす。

[定義2]順序体(A,+,・,≦)が実数体 ⇔ 順序体(A,+,・,≦)は実数の連続性を満たす。

が実数の定義になろうかと思います。

koko_u_u先生。
是非,小数展開出来ることの証明をお願い致します。m(_ _)m

補足

> ということは、まずは実数を定義せねばならんのですよ。補足にどうぞ。

という事は循環論法になってしまうと言う事でしょうか?
では一体何うすれば、、、