実数と直線上の点を１対１に対応づけて考えることができる理由

質問

数直線（＝実数と直線上の点を１対１に対応づけて考えた直線）についての質問です。自分は任意の無限小数を決めても、直線上にその無限小数に対応する点は取れないと思います。数字が途切れないからです。どういう風に考えれば数直線を理解できるのでしょうか？＿

回答No.4

koko_u_ · ベストアンサー

>ただやはり√２を作図できることは、心の底から納得できません。なんといっても無限小数ですから。
心情的にはわからんでもないけど、そこは 10 進法の「表現上の限界」だと思うしかない。

ちょいと調べるとわかるように実数は「非常にたくさん」あり、自然数よりも多く存在しています。
なので、10 進法のような表現方法では高々可算個の数字しか表記できず、「すべての実数」を網羅できません。

恐らく人間の感覚も可算無限個くらいまでしか認識できず、無理数などという膨大な数の実体を直感的に把握することは困難だと想像されます。

お礼

お礼が遅くなって本当にすみません。

数「直線」なので、途切れないから、実数と点は１対１に対応させることができ、確かに数直線上に無理数は存在するが、たまたま作図できるもの以外は、作図できない。なぜなら、「数直線は１０進法の表記」なので、無理数を表記できないから。また、可算個である有理数は、「１０進法で表した整数/整数」の形に表記可能である。
こんな風に理解させていただきました。

ところで、お礼を書いているときに、
１０進法に限らず、２進法とかでも無理数は表記できないんじゃ？というか、例外なく無理数を表記する方法はあるの？
というような新たな疑問が出現しましたが、これは、必要に応じて、またいずれ質問させていただけたら、と思っています。

回答ありがとうございました。

補足

すみません、この回答の２，４行目がまだよくわからないので、お礼が遅れてしまうと思いますが、勘弁してください。ちなみに、自分は、まだｐ進法すら理解できていないと思われます。

回答No.8

rukuku

１／３の作図は以下のように出来ます。ついでに２／３も作図できます。
a.数直線の「０」から任意の角度（ただし、数直線と平行でないこと）で半直線を引く
b.aで引いた線分から任意の長さ（ただし、０でないこと）を切り取る
c.bで切り取った長さを３倍する
d.cで３倍された点と数直線上の「１」を通る直線を引く
e.bで切り取った点を通り、dで引いた直線に平行な直線を引く（方法は省略。確か中学の数学で習ったように記憶しています。）
…eで引いた直線と数直線の交点が１／３となります。

ポイントは「３分の１」にするのではなく、「３倍する」ところにあります。

お礼

回答ありがとうございます。こんなにいろいろ教えていただけて、とても嬉しいです。
早速作図してみました。この方法頭良いですね。しかもこれ有理数ならなんだって描けるではありませんか。びっくりしました。
また、久しぶりに、作図と言うものと向き合う機会をいただけて、楽しかったです。
ありがとうございました。

回答No.7

rukuku

うまく伝わっていない部分がありますので補足します。

＞無限小数と数直線は１対１に対応するはずがない
数直線上の点も連続していますから、無限小数でも数直線上の点として表すことが出来ます。
√２や１／３が「作図できる」ということは、数直線上にその数に対応する点を取ることが出来ます。
koko_u_さんのおっしゃる「作図できない実数点」を数直線上で表せることの証明は私にはわからないのですが、少なくとも「作図できる実数点」ならば、たとえ無限小数であっても数直線上の点として表すことが出来ます。
作図をしておいて最後にコンパスで数直線上に写し取ればいいのですから。
…正確に言えば「数直線上の点として」というのは「０からの距離として」になると思いますが。

ただし、前述したように数字は連続ではなく、「隙間」があります。そのために「実際に存在する実数を“数字では”表せない」ということが起こりえます

お礼

補足回答ありがとうございます。お礼が送れて申し訳ありません。

すみません、＃１の方へのお礼とrukukuさんへのお礼で矛盾したことを書いてしまいました。ちゃんと書くことが出来ませんでした。不思議な気持ちですが、作図できるものは、数直線上の点として表せますよね。その辺のモヤモヤ感は、p進法の学習を通じて、とれるみたいなので、勉強したいと思っています。

後、お恥ずかしい話ですが、１/３の作図ってどうやればよいか教えてもらえませんか。

回答No.6

fjfsgh

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2980599.html

お礼

すみません、調査不足でした。回答ありがとうございました。

回答No.5

ngtk

無限小数に対応する点で点がはっきりしているものもありますよ。
0.9999.......っていうのです。これは１になります。

そういう雑談はさておき、
数字というものは人が便宜上に作ったものさしみたいなものですから、そのものさしですべてが計れるものではありません。
そのものさしから外れた値が有っても、その値が存在しないわけでは有りません。
たとえば、1/3だったら無限小数で、表せなくても、0.3と0.4の間に存在しているというのは、紛れもない事実で、実際に存在しますよね。

お礼

回答ありがとうございました。自分が理解した＃２．３の方の回答内容の裏づけになっていて、より自信を持つことができました。

回答No.3

rukuku

数字というのは線引きの目盛りであると考えてみてください。
１＝１ｍとすると
０．１＝０．１ｍ（１０ｃｍ）
０．０１＝０．０１ｍ（１ｃｍ）
０．００１＝０．００１ｍ（１ｍｍ）
と目盛りを細かくしていっても目盛りと目盛りの間に「隙間」があります。
その隙間にうまく入ってしまうのが「無限小数（無理数）」です。
「数」は“連続”しているけれど「数字」は“飛び飛び”という言い方も出来ます。

sanoriさんがあげている√２以外の例としては、１／３（０．３３３３３…）も少数では表せないけれど作図することは出来ます。

お礼

無限小数は数であり、数は連続しているので、有限小数としてとらえることができる数字（目盛り）とは相容れない、したがって、無限小数と数直線は１対１に対応するはずがない、ということですよね。なるほど、その通りですね。やはり数直線は、実数の便宜的な言い換えということですね。ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

数直線というのは数学的実体ではないので、数学的に理解することは難しいですね。
数学的に定義した実数というものを便宜的に実数直線とか数直線とか呼んでいるだけです。

ちなみに「作図できる」とか言いだすと「作図できない実数点」も存在するので話はややこしい。

お礼

なるほど、数直線というものは、数学的な内容ではなく、実数の便宜的な言い換えですか。無限小数を、数直線と言い換えることができなくてもかまわない、ということですね。都合の良いときだけ、実数を数直線ととらえよう、という考え方がとても参考になりました。教えていただいてありがとうございました。

回答No.1

sanori

「無限小数は数直線上に表すことはできない」
という命題を立てれば、それは偽です。
なぜならば、たとえば、√２（＝１．４１４２・・・）の長さの線分は作図できるからです。

お礼

おっしゃるとおりです。三平方の定理があるんだから√２を作図できてしまうのは仕方がないことですよね。ただやはり√２を作図できることは、心の底から納得できません。なんといっても無限小数ですから。