数列 極限 問題

質問

数列 極限 問題

lim[n→∞]（（1+2+3+・・・n/2）-（ｎ/2））

の解き方が分かりません。。
どのように解けば良いのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．１の回答者です。

＞＞＞lim[n→∞]（1+2+3+・・・n)/(ｎ+2）-（ｎ/2）です。

ありゃ。そうでしたか。

では、公式を覚えてないんで、地道に。
Ｓ　＝　１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎ
順番を引っくり返して、
Ｓ　＝　ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋３＋２＋１
両者を足すと、
Ｓ＋Ｓ　＝　（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）
　＝　（ｎ＋１）がｎ個
　＝　ｎ（ｎ＋１）
よって、
Ｓ　＝　（Ｓ＋Ｓ）／２　＝　ｎ（ｎ＋１）／２

（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）／（ｎ＋２）－　ｎ／２
　＝　ｎ（ｎ＋１）／｛２（ｎ＋２）｝　－　ｎ／２
　＝　ｎ／２・｛（ｎ＋１）／（ｎ＋２）　－　１｝
　＝　ｎ／｛２（ｎ＋２）｝・｛（ｎ＋１）　－　（ｎ＋２）｝
　＝　ｎ／｛２（ｎ＋２）｝・（－１）
　＝　－１／｛２（１　＋　２／ｎ）｝

よって、
与式　＝　lim[n⇒∞]［－１／｛２（１＋２／ｎ）｝］
　＝　－１／｛２（１　＋　０）｝
　＝　－１／２

＞＞＞因みに、lim[n→∞]（1+2+3+・・・n)/nが∞に発散するという回答の内容で良い
でしょうか？

んー・・・、おっしゃっている意味がわかりませんが、
上で述べたとおり、
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）＋ｎ　＝　ｎ（ｎ＋１）／２
ですので、それをあてはめてください。
分子にｎ^2があって分母はｎですから、発散することは明らかですが。

ちなみに、本題から外れますが、
前回回答の
１＋２＋３＋・・・∞　＝　－１／１２
という不思議な式があることを私が知ったのは、「たけしの誰でもピカソ」という番組で紹介されたからなのですが、そのとき、ほかの例も紹介されていまして、たとえば、
１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・・・　＝　１／１２０
という式に至っては、「カシミール効果」と呼ばれる物理現象の測定で実証（！）されているそうです。
まー、本当なのか、でたらめなのかを私が自力で確認したわけではありませんけどね。

お礼

間違えて補足に記入してしまいました。
ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。
＞まー、本当なのか、でたらめなのかを私が自力で確認したわけでは
＞ありませんけどね。
正の無限大に発散するということで深追いすることはやめます。

本当にありがとうございました。

回答No.4

OurSQL

lim { ( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／( n + 2 ) － ( n／2 ) }　　( n --> ∞ )

で正しいでしょうか。もしそうなら、

( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／( n + 2 ) － ( n／2 )

= ( － 1／2 ) * [ 1／{ 1 + ( 2／n ) } ]

と変形できるので、極限値は － 1／2 となります。

lim ( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／n　　( n --> ∞ )

であれば、正の無限大に発散します。

lim ( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／n　　( n --> ∞ )

であっても、

lim ( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )　　( n --> ∞ )

であっても、どちらでも構いませんが、とにかく正の無限大に発散します。
－ 1／12 とも見なせるというのは、高度な数学ではなく、ただの出鱈目です。
決して負の数に収束することはなく（もちろん、正の数に収束するわけでもありませんが）、あまり変な思想を普及させてほしくないですね。

回答No.3

OurSQL

lim { ( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／( ｎ + 2 ) － ( n／2 ) }　　( n --> ∞ )

で正しいでしょうか。もしそうなら、

( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／( ｎ + 2 ) － ( n／2 )

= ( － 1／2 ) * [ 1／{ 1 + ( 2／n ) } ]

と変形できるので、極限値は － 1／2 となります。

lim ( 1 + 2 + 3 + ・・・ + n )／ｎ　　( n --> ∞ )

であれば、正の無限大に発散します。

－ 1／12 とも見なせるというのは、高度な数学ではなく、ただの出鱈目です。

回答No.2

Tacosan

1+2+...+n
を n の閉じた式で書いてください.

回答No.1

sanori

こんにちは。

ｎ／２　を足して　ｎ／２　を引く意味がわかりませんが、
極限は、高校数学では、＋∞　になります。

高度な数学になると
＋∞　と見ても、－１／１２　と見てもよい、という帰結があります。

過去に似た質問がいくつもあります。
（一例）
http://okwave.jp/qa/q3653759.html

補足

ご回答ありがとうございます。
すいません問題を間違えました。
lim[n→∞]（1+2+3+・・・n)/(ｎ+2）-（ｎ/2）です。
因みに、lim[n→∞]（1+2+3+・・・n)/nが∞に発散するという回答の内容で良いでしょうか？