2次関数

質問

社会人になってから問題を解いてますが、回答 解説がなく困ってます。

y=x^2+(k-2)x+k^2のグラフを考える。
1.このグラフの頂点が第一象限内にある時のkの範囲を示しなさい。

2.このグラフがx軸およびy=2x-5と接するときのkの値を求めなさい。

3.このグラフが2点A,Bでx軸と交わるとき、線分ABの長さが2以上になる場合のkの範囲を求めなさい。

*自己回答*
y=ax^2+bx+cにおいて D=b^2-4ac とする。
また、頂点は(-b/2a,-b^2-4ac/4a)

1.D<0より-2<k<2/3
頂点は共に0以上よりk<2,k<-2 2/3<k
この連立が真逆になってしまいます。計算間違いでしょうか？考え方が間違ってるのでしょうか？

2.D=0より k=2/3,-2

3.D>0より k<-2,2/3<k
B-A>=2より k<=-4,k>=0
二つを合わせ k<=-4,2/3<k

どなたか よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

＞[α+β=2-k] [αβ=k^2]となるのが分かりません(*_*)

これを解と係数の関係というんだが、これは基本的知識。
証明してみよう。

2解をα、βとすると、(x-α)*(x-β)＝x＾2-(α＋β)x＋(αβ)＝x^2-(2-k)x+k^2　。
両辺の係数を比較すると、α+β=2-k　と　αβ=k^2　になる。

お礼

立て続けに丁寧な解答ありがとうございました。
他の問題も何とか解けました(^_^;)
また機会がありましたら よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

問題の3について、いい加減な回答をしている者がいるので、正解を書いておく。

y=x^2+(k-2)x+k^2とy＝0　(x軸)とが異なる2点で交わるから、連立したxの方程式：x^2+(k-2)x+k^2＝0が　2つの異なる解　α、β(α＞β)を持ち、条件から　α-β≧2である。
よって、判別式＞0　(実は、これは結果として不要なんだが)、α-β≧2　→　(α-β)＾2＝(α＋β)＾2-4αβ≧4.‥‥(1)
これに、解と係数から　α＋β＝2-k、αβ＝k^2　を代入すると　(2次不等式くらいは　解けるだろう)
-4/3≦k≦0　となる。

判別式＝(α＋β)＾2-4αβ＞0は　(1)から保証されているから、不要になる。

補足

解答ありがとうございます。

また少し質問なのですが、[α+β=2-k] [αβ=k^2]となるのが分かりません(*_*)
とても初歩的なんだとは思いますが、教えて下さいm(_ _)m

回答No.2

noname#171582

２変数のグラフ

お礼

私には難しすぎて グラフをどう活かせばいいのか分かりませんが、わざわざありがとうございました。

回答No.1

alice_44

＞ y=ax^2+bx+c において D=b^2-4ac とする。
＞ また、頂点は ( -b/2a, -b^2-4ac/4a )

この部分が、話をずいぶん解り難くしている。
a, b, c とか、ワザワザ置き換えないほうがよい。
(あと、分数の書き方もちょっと変だし、
計算の内容自体も少し間違っている。)
y=x^2+(k-2)x+k^2 のまま平方完成して、
頂点を ( -(k-2)/2, -{(k-2)^2-4k^2}/4 ) と求めたほうがよい。

1. 正しく「D<0 より -2<k<2/3」としておきながら、
　後で「k<-2, 2/3<k」と逆にしてしまった理由が書かれていない。
　貴方が何を考えて余計なことをしてしまったのか解らない。
　質問文中のように頂点の y 座標の条件から -2<k<2/3 とし、
　頂点の x 座標の条件から出る k<2 と併せて
　答えを「k<2 かつ -2<k<2/3」とすればよい。
　条件を整理して結局「-2<k<2/3」だけになるが。

2. それだけでは、グラフが x 軸と接する条件しか使っていない。
　求まった k=2/3, k=-2 の各々について、
　y=2x-5 と接するかどうか調べる必要がある。

3. 方針はそれでよいが、「B-A>=2 より k<=-4, k>=0」となる理由
　を書くことを要求されている問題だと思われる。

補足

早速の回答ありがとうございます。
PC上での表現が不慣れで申し訳ありません。

1.頂点のy座標3/4k^2+k-1は第一象限内なので0以上となり、それを解くとk<-2,2/3<kとなってしまったのですが どこで間違ってしまったのでしょう？

2.k=2/3,-2 をy=2x-5と接するかどうか どう確かめたらいいですか？

k=2/3の時
［y=(x-2/3)^2］となり［(x-2/3)^2=2x-5］を解くと［(x-5/3)^2+25/9=0］
交点のx座標は5/3

k=-2の時
［y=(x-2)^2］となり［(x-2)^2=2x-5］を解くと［(x-3)^2=0］
交点のx座標は3

このような式は出てきたのですが、最終的にどうしたらいいのか分かりません。

初歩的な感じだと思うのですが、ブランクがだいぶあり困ってます。 よろしくお願いします。