教えてください。二次関数の線分比の問題です。

質問

中学３年生の二次関数の問題です。どなたか教えていただけないでしょうか。

２点Ａ，Ｂはy=x2のグラフ上の点であり，点Ｃはy=1/4x2のグラフ上の点である。線分ＡＣがx軸に平行であり，線分ＢＣがy軸に平行であり，２点Ａ，ＢのX座標は正である。ＡＣ：ＢＣ＝１：９であるとき，点Ａの座標を求めなさい。

http://www.fdtext.com/dat/chu/m3b/pb1.pdf
【問題40】です。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.5

suko22

点Ａのｘ座標をa(a>0)とおくと、ｙ座標はｙ＝ｘ＾2上の点であるから、ｙ＝a＾2
よって、点Ａ(a,a^2)

線分ＡＣがｘ軸に平行であることより、点Ｃのｙ座標はa^2であることがわかる。
点Ｃはｙ＝1/4ｘ＾2の点であるから、ｘ座標はa^2=1/4x^2より、
x=4a^2
x=±2a
点Ｃの座標は正であるから、点Ｃ(2a,a^2)

線分ＢＣがｙ軸に平行であるから、点Ｂのｘ座標は2aであることがわかる。
点Ｂはｙ＝ｘ＾2上の点であるから、ｙ座標はy=(2a)^2=4a^2
よって、点Ｂ(2a,4a^2)

線分ＡＣの大きさは2a-a=a
線分ＢＣの大きさは4a^2-a^2=3a^2

AC:BC=1:9より、
a:3a^2=1:9
3a^2=9a
3a(a-3)=0
a>0より、a=3

よって、点Ａ(3,9)

回答No.4

asuncion

＞点A(a, a^2), 点B(b, b^2), 点C(c, c^2 / 4)とおく。
＞このとき、線分ACがx軸に平行であることから、
＞点Aのy座標a^2と点Cのy座標c^2 / 4とは等しい。
＞また、線分BCがy軸に平行であることから、
＞点Bのx座標bと点Cのx座標cとは等しい。
＞よって、点Cの座標は、aとbとを用いて(b, a^2)と書くことができる。

ここは少し冗長だったかもしれません。

点A(a, a^2), 点B(b, b^2)とおく。
このとき、線分ACがx軸に平行であることから、
点Aのy座標と点Cのy座標とは等しい。
また、線分BCがy軸に平行であることから、
点Bのx座標と点Cのx座標とは等しい。
よって、点Cの座標は、aとbとを用いて(b, a^2)と書くことができる。

と書いた方が、cとかc^2 / 4とかいうよけいな情報を書かなくてすみますね。

回答No.3

yyssaa

点Aの座標を(a,b)とすると、y=x2の上の点なので、b=a^2・・・(1)
点Cはy=1/4x2のグラフ上の点で、そのy座標は点Aと同じbなので、
x^2=4yからx座標は√(4b)=2√bとなり、点Cの座標は(2√b,b)。
よってAC=2√b-a・・・(2)
点Bはy=x2のグラフ上の点で、そのx座標は点Cと同じ2√bなので、
y=x^2からy座標は(2√b)^2=4bとなり、点Bの座標は(2√b,4b)。
よってBC=4b-b=3b・・・(3)
(1)からa=√b、(2)に代入するとAC=2√b-√b=√b
題意からAC/BC=(√b)/3b=1/9、3b=9√b、b=3√b、b^2=9b
b^2-9b=b(b-9)=0からb=0は題意に合わないので、b=9。これを(1)
に代入してa=3。
以上から点Ａの座標=(3,9)・・・答え

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞a>0であるから、a = 3

よって、点Aの座標は(3, 9)

回答No.1

asuncion

y = x^2
y = x^2 / 4
のように書く（^ はべき乗の意味）方が、ここの掲示板では意図が伝わりやすいです。

点A(a, a^2), 点B(b, b^2), 点C(c, c^2 / 4)とおく。
このとき、線分ACがx軸に平行であることから、
点Aのy座標a^2と点Cのy座標c^2 / 4とは等しい。
また、線分BCがy軸に平行であることから、
点Bのx座標bと点Cのx座標cとは等しい。
よって、点Cの座標は、aとbとを用いて(b, a^2)と書くことができる。

ACの長さ=b - a
BCの長さ=b^2 - a^2
AC : BC = 1 : 9 であるから、
(b - a) : (b^2 - a^2) = 1 : 9
b^2 - a^2 = 9(b - a)
(b + a)(b - a) = 9(b - a)
b≠aだから、b + a = 9 …… (1)

一方、点C(b, a^2)は、y = x^2 / 4 上の点であるから、
a^2 = b^2 / 4を満たす。
b^2 = 4・a^2 …… (2)
(1)よりb = 9 - aを(2)に代入する。
81 - 18a + a^2 = 4・a^2
3・a^2 + 18a - 81 = 0
a^2 + 6a - 27 = 0
(a + 9)(a - 3)=0
a = -9, 3
a>0であるから、a = 3