不等式の問題

質問

xがどんな実数であっても、不等式2x^2-(2k-1)x+k>0が成り立つように定数kの値の範囲を定めなさい。という問題で、正直どこから手をつけていいのかわからなかったので、とりあえず式を整理してみたら、2x^2-2kx+x+k>0となりました（自信はありませんが）ここからどう考えていけばよろしいでしょうか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
エレガントな解き方が苦手な、地道なおっさん sanori です。

やり方　その１（平方完成）

ｙ　＝　２ｘ^2　－　（２ｋ－１）ｘ　＋　ｋ
ｙ／２　＝　ｘ^2　－　（２ｋ－１）／２・ｘ　＋　ｋ／２
　＝　ｘ^2　－　（２ｋ－１）／２・ｘ　＋　｛（２ｋ－１）／４｝^2　－　｛（２ｋ－１）／４｝^2　＋　ｋ／２
　＝　｛ｘ^2　－　（２ｋ－１）／４｝^2　－　｛（２ｋ－１）／４｝^2　＋　ｋ／２

左の｛ｘ^2　－　（２ｋ－１）／４｝^2　は負にならないので、
ｙが常に　ｙ＞０　になるためには、
－｛（２ｋ－１）／４｝^2　＋　ｋ／２　＞　０
｛（２ｋ－１）／４｝^2　－　ｋ／２　＜　０
（２ｋ－１）^2　－　１６ｋ／２　＜　０
４ｋ^2　－　４ｋ　＋　１　－　８ｋ　＜　０
４ｋ^2　－　１２ｋ　＋　１　＜　０　　・・・・・（あ）
ｋ^2　－　３ｋ　＋　１／４　＜　０
（ｋ　－　３／２）^2　－　９／４　＋　１／４　＜　０
（ｋ　－　３／２）^2　＜　２
－√２　＜　ｋ　－　３／２　＜　√２
３／２　－　√２　＜　ｋ　＜　３／２　＋　√２

やり方　その２（微分）
ｙ　＝　２ｘ^2　－　（２ｋ－１）ｘ　＋　ｋ
ｘ^2 の係数が正であるので、ｙ’＝０　のときｙは（極大値ではなく）極小値を取る。
ｙ’＝　４ｘ　－　（２ｋ－１）

ｙ’＝０　のとき
４ｘ　＝　２ｋ－１
ｘ　＝　（２ｋ－１）／４
これをｙの式に代入。
ｙ　＝　２ｘ^2　－　（２ｋ－１）ｘ　＋　ｋ
　＝　２（２ｋ－１）^2／４^2　－　（２ｋ－１）^2／４　＋　ｋ
　＝　（２ｋ－１）^2／８　－　（２ｋ－１）^2／４　＋　ｋ
　＝　－（２ｋ－１）^2／８　＋　ｋ

常に　ｙ＞０　のためには、
８ｙ　＝　－（２ｋ－１）^2　＋　８ｋ　＞　０
－４ｋ^2　＋　４ｋ　－　１　＋　８ｋ　＞　０
－４ｋ^2　＋　１２ｋ　－　１　＞　０
４ｋ^2　－　１２ｋ　＋　１　＜　０
ここで、やり方１の途中式（あ）と同じになりました。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

非常に細かく教えてくれて、わかりやすかったです。
ありがとうございました！

回答No.2

lialhyd

元々の式はすでに「xについて降べきの順に整理」されているので、カッコは展開しないほうがいいですね。

#1のように、左辺をyとおいて、そのグラフを考えてみます。
グラフは下に凸ですからグラフで一番yが小さくなるのは頂点ですよね。
（頂点のy座標）＞０　となれば、どのxの値についても　y＞０となりますね。

このように、#1回答者様のように2次方程式の判別式に持ち込んでもいいですし、グラフの頂点を求められるのであれば（平方完成を習っていれば）それを利用して解いてもいいかと思います。
なんにせよ、y＝左辺のあらわすグラフがどのようになるのかイメージすることが大事です。

あなたのように「ここまではやってみたんだけど…」という姿勢は非常にいいですね。
がんばってください。

お礼

やっぱり展開しないほうがよかったんですね。
僕の努力をほめていただいてありがとうございます！

回答No.1

Mr_Holland

与えられた不等式の左辺を次のようにおきます。
　　ｙ＝2x^2-(2k-1)x+k

　与えられた不等式の条件は　ｙ＞０　ですので、グラフで考えると、２次関数：ｙ＝2x^2-(2k-1)x+k　のグラフは、ｘ軸より上側にあることになります。
　言い換えますと、２次方程式：2x^2-(2k-1)x+k＝０　のx^2の係数は正ですので、この方程式が実解を持たないことが、ｙ＞０　と必要十分になります。

　あとは、この2次方程式の判別式から　ｋの値の範囲を決めていけばOKです。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます！