和算の問題です。

質問

子供の冬休みの宿題で困っています。問題は次の通りです。
【米をたくわえた蔵があります。蔵の中から、初日に１石を出します。次の日に３石、また次の日に７石、その次に１５石を出す、というように米を出していくと、３０日で蔵は空になりました。初めに入っていた米は何石でしょうか。】
よろしくお願いいたします。

回答No.1

24moo-moo · ベストアンサー

頑張って３０個足してみたらいいとおもいますが、

莫大な数になるので、数列の計算を使うと楽です。

２－１、４－１、８－１、１６－１と２のn乗から１を引いた数ですので、
２＋４＋８＋１６＋…＋２^３０－３０を計算します。

そこで、
２＋４＋８＋１６＋…＋２^３０
を計算して見ましょう。

２＋４＋８＋１６＋…＋２^３０
=２×(２＋４＋８＋１６＋…＋２^３０)－(２＋４＋８＋１６＋…＋２^３０)
=２^３１-２
=２１４７４８３６４８

となりますね。
ですから、答えはここから３０引いて
２１４７４８３６４８－３０＝２１４７４８３６１８
つまり
２１４７４８３６１８石
となります。
凄い問題ですね…。

お礼

ありがとうございました。
ご面倒おかけしてすみませんでした。
問題が間違っていました。
答えを見ると、とても小学生向きの問題ではありません。

回答No.3

info22_

n日目に出したお米の量a[n]は、よく観察すると「2a[n-1]+1」石となっていますね。

a[1]=1
a[n]=2a[n-1]+1(n≧2) …(1)

最初に入っていたお米の量をA石とすると
A=a[1]+a[2]+ … +a[30]
=a[1]+2a[1]+1+2a[2]+1+ … +2a[29]+1
=30+2{a[1]+a[2]+ … +a[29]}
A=30+2{A-a[30]}
A=30+2A-2a[30]
A=2a[30]-30 …(2)

(1)からa[30]を求めて(2)に代入すれば　はじめに入っていたお米の量「A石」が求まります。
(1)を漸化式の形に変形して
a[n]+1=2(a[n-1]+1)
　　 =(2^2)(a[n-2]+1
= …
　　　={2^(n-1)}(a[1]+1)
n=30,a[1]=1を代入して
a[30]+1=(2^29)*2
a[30]=2^30-1

(2)から
∴A=2(2^30-1)-30=2^31-32=2147483616

となるかと思います。

お礼

ありがとうございました。
ご面倒おかけしてすみませんでした。
問題が間違っていました。
答えを見ると、とても小学生向きの問題ではありません。

回答No.2

24moo-moo

失礼しました。
２の３１乗に夢中で２を引き忘れてました。

２^３１－２
=２１４７４８３６４６

答えは、
２１４７４８３６４６－３０=２１４７４８３６１６
より
２１４７４８３６１６石です。

お礼

ありがとうございました。
ご面倒おかけしてすみませんでした。
問題が間違っていました。
答えを見ると、とても小学生向きの問題ではありません。